X 권
명제
명제 95
길이가 유리수인 선분과 다섯 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변은 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 만드는 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 다섯 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이와 같은 정사각형 변은 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 만드는 선분이다.
X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 다섯 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변은 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 만드는 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 다섯 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이와 같은 정사각형 변은 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 만드는 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 다섯 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이와 같은 정사각형 변은 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 만드는 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AD\)에 선분 \(\rm DG\)를 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GD}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm GD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm DG}\)는 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있고 \({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 정의 III 5]
그러나 선분 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \(\frac14\overline{\rm DF}\)인 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 놓으면, 선분 \(\rm AG\)는 \(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없은 두 선분으로 나누어진다. [X권 명제 18]
선분 \(\rm DG\)의 중점을 \(\rm E\)라 하자. 선분 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \(\overline{\rm EG}\)인 정사각형을 뺀 평형사변형을 놓자. 그것을 두 변 \(\rm AF\), \(\rm FG\)인 직사각형이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
\(\overline{\rm AG}\)는 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으며 모두 유리수이므로 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 그리고 \(\overline{\rm DG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)는 유리수이다. [X권 명제 19]
(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 같도록 정사각형 \(\rm LRMP\)을 작도하자. 정사각형 \(\rm LRMP\)에서 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)와 같도록 정사각형 \(\rm NQOP\)을 작도하여 빼자. 이 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm FIKG\)는 \(\rm\angle LPM=90^\circ\)를 공유하므로 같은 대각선을 가진다. [VI권 명제 26]
이 대각선을 \(\rm PR\)이라 하자. 그림처럼 도형을 작도하자.
앞의 명제와 같은 방법으로 \(\overline{\rm LN}\)이 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)임을 보일 수 있다.
다음으로 \({\overline{\rm LN}}^2\)이 넓이가 유리수와 제곱근 평균임을 보이자.
(직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)는 제곱근 평균이며 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(={\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)이므로 \({\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)은 제곱근 평균이다.
그리고 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)는 유리수이며 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)이므로 \(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)은 유리수이다.
그리고 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \({\overline{\rm LP}}^2\)과 \({\overline{\rm NP}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)은 제곱근 평균이고 \(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)은 유리수이다.
그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 무리수이며 \({\overline{\rm LN}}^2\)은 유리수와 제곱근 평균을 더한 것과 같다. [X권 명제 77] 그리고 \(\overline{\rm LN}\)이 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 정사각형 넓이는 유리수와 제곱근 평균을 더한 것과 같다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 109]에서 사용된다.