X 권
명제
뺀 선분을 변으로 하는 정사각형을 작도하고 그 정사각형 넓이와 같은 직사각형을 길이가 유리수인 변 위에 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 한 변은 첫 번째 뺀 선분이다.
뺀 선분 \(\rm AB\)과 유리수 \(\overline{\rm CD}\)인 선분 \(\rm CD\)가 있다. 선분 \(\rm CD\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)을 작도하자. 그러면 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 첫 번째 뺀 선분이다.
뺀 선분 \(\rm AB\)과 유리수 \(\overline{\rm CD}\)인 선분 \(\rm CD\)가 있다. 선분 \(\rm CD\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)을 작도하자. 그러면 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 첫 번째 뺀 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AB\) 위에 선분 \(\rm BF\)를 일직선이 되도록 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm BG}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AG}}^2\)와 \({\overline{\rm BG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 73] (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\)인 직사각형 \(\rm CDHK\)를 선분 \(\rm CD\) 위에 작도하자. 그리고 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(={\overline{\rm BG}}^2\)인 직사각형 \(\rm KHLM\) 작도하자.
그러면 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)이다 [II권 명제 7]
선분 \(\rm FM\)의 중점을 \(\rm N\)이라 하자. 점 \(\rm N\)에서 선분 \(\rm CD\)에 평행하도록 선분 \(\rm NO\)를 그리자. 그러면 (직사각형 \(\rm FEON\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\), (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(={\overline{\rm GB}}^2\)이다.
\({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)는 유리수이며, (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)은 유리수이다. 직사각형 \(\rm CDLM\)의 한 변이 \(\rm CD\)이므로 다른 한 변은 \(\rm CM\)이다. \(\overline{\rm CM}\)은 유리수이고 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
그리고 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)는 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)이므로 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)은 제곱근 평균이다. 직사각형 \(\rm FELM\)의 한 변의 길이가 \(\overline{\rm CD}\)와 같으므로 나머지 한 변은 \(\rm FM\)이고, \(\overline{\rm FM}\)은 유리수이며 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
\({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)는 유리수이며, \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)는 제곱근 평균이므로 \({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)와 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)이므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm FELM\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FELM\)\(=\overline{\rm CM}:\overline{\rm FM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11] \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 유리수이고, 단 \({\overline{\rm CM}}^2\)과 \({\overline{\rm FM}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
이제 \(\overline{\rm CF}\)가 첫 번째 뺀 선분임을 보이자.
\(\left(\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\right)^2={\overline{\rm AG}}^2\cdot{\overline{\rm GB}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\)이며, (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(={\overline{\rm BG}}^2\)이고, (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)이므로 (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\({}^2=\)(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(\cdot\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(=\overline{\rm CK}:\overline{\rm NM}\)이고 (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(=\overline{\rm NM}:\overline{\rm KM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CK}\cdot\overline{\rm KN}={\overline{\rm NM}}^2=\frac14{\overline{\rm FM}}^2\)이다. [VI권 명제 17]
\({\overline{\rm AG}}^2\)는 \({\overline{\rm GB}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(=\overline{\rm CK}:\overline{\rm KM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CK}\)와 \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
그러므로 \(\overline{\rm CM}\ne\overline{\rm MF}\)인 \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 선분 \(\rm CM\) 위에 두 변이 \(\rm CK\)와 \(\rm KM\)인 직사각형을 작도하면 \(\overline{\rm CK}\cdot\overline{\rm KM}=\frac14{\overline{\rm FM}}^2\)이며, 정사각형을 뺀 모양인데 \(\rm CK\)와 \(\rm KM\)은 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 \({\overline{\rm CM}}^2={\overline{\rm FM}}^2+\)(\(\overline{\rm CM}\)과 같은 단위로 측정할 수 있는 길이를 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 17] 그리고 \(\overline{\rm CM}\)은 유리수 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)는 첫 번째 선분이다. [X권 정의 III 1]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 111]에서 사용된다. 더우기 [XIII권 명제 6]에서도 사용된다.