애플릿

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증명

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\({\overline{\rm AB}}^2\)이 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분을 \(\rm AB\)라 하고, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\rm CD\)도 \({\overline{\rm CD}}^2\)가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분임을 보이자.

선분 \(\rm AB\)에 일직선이 되도록 선분 \(\rm BE\)를 잊자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm EB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)는 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)은 제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)과 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 78]

앞에서 증명한 것과 같이 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm CF}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm EB}\)와 \(\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)와 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)과 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.

그러므로 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)는 \({\overline{\rm CF}}^2\)와 \({\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm DF}\cdot\overline{\rm FD}\)은 제곱근 평균이며, \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)과 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\rm CD\)는 \({\overline{\rm CD}}^2\)가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분이다. [X권 명제 78]

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.