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증명

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${\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}}^2$이 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분을 $\mathrm{A}\mathrm{B}$라 하고, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$와 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 $\mathrm{C}\mathrm{D}$도 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2$가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분임을 보이자.

선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$에 일직선이 되도록 선분 $\mathrm{B}\mathrm{E}$를 잊자. 그러면 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$는 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 없고, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2+{\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$는 제곱근 평균이며, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$은 제곱근 평균이며, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2+{\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$과 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 78]

앞에서 증명한 것과 같이 $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}$와 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$는 같은 단위로 측정할 수 있고, $\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$와 $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$도 같은 단위로 측정할 수 있으며, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2+{\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2+{\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 있고, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$과 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}\cdot \overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$도 같은 단위로 측정할 수 있다.

그러므로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}$, $\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$는 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 없고, ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2+{\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$는 제곱근 평균이며, $\overline{\mathrm{D}\mathrm{F}}\cdot \overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$은 제곱근 평균이며, ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2+{\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$과 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}\cdot \overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 $\mathrm{C}\mathrm{D}$는 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}}^2$가 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 선분이다. [X권 명제 78]

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.