애플릿

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증명

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두 수 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)는 제곱수와 제곱수의 비율과 같고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)는 제곱수와 제곱수의 비율이 아니라고 하자. [X권 명제 28 보조명제]

길이가 유리수인 \(d\)에 대하여, \(d\)와 \(\overline{\rm EF}\)은 같은 단위로 측정 할 수 있도록 선분 \(\rm EF\)를 잡자. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다.

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)가되도록 선분 \(\rm FG\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제]

그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)는 정수 비이다. 그러므로 \({\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 이전과 같은 정수 비이다. 그러므로 \({\overline{\rm EF}}^2\)과 \({\overline{\rm FG}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그런데 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이므로 \(\overline{\rm FG}\)는 유리수이다.

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)는 제곱수 비와 같지 않기 때문에, \({\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 제곱수 비와 같지 않다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정 할 수 없다. [X권 명제 9]

그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 유리수이며, \({\overline{\rm EF}}^2\)과 \({\overline{\rm FG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]

이제 선분 \(\overline{\rm EG}\)가 첫 번째 이항 선분임을 보이자.

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이고 \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm AC}\)이므로 \({\overline{\rm EF}}^2>{\overline{\rm FG}}^2\)이다.

\({\overline{\rm FG}}^2+h^2={\overline{\rm EF}}^2\)인 \(h\)를 잡자.

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이므로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}={\overline{\rm EF}}^2:h^2\)이다. [V권 명제 19 따름명제]

그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)은 제곱수의 비와 같다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}:h\)도 제곱수의 비와 같다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 \(h\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 9]

그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 \(h\)에 대하여 \({\overline{\rm EF}}^2={\overline{\rm FG}}^2+h^2\)이다. 그리고 \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(\overline{\rm EF}\)는 주어진 길이 \(d\)와 같은 단위로 측정 할 수 있다.

그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 첫 번째 이항 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.

이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.

\(\rho\), \(m\), \(n\), \(k\)은 양의 정수이다.

\(\overline{\rm AC}=p\left(m^2-n^2\right)\), \(\overline{\rm CB}=pn^2\)

\(d=\rho\), \(h=\displaystyle\sqrt{(k\rho)^2-\left(k\rho\frac{\sqrt{m^2-n^2}}{m}\right)^2}\)

\(\overline{\rm EF}=k\rho\), \(\displaystyle\overline{\rm FG}=k\rho\frac{\sqrt{m^2-n^2}}{m}\)