X 권
명제
X 권
명제
두 선분으로 각각 작도한 정사각형들의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정삭가형의 넓이를 더하면 네제곱근 평균이 되고, 그 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 네 제곱근이며, 직사각형 넓이는 두 정사각형들을 더한 넓이와 같이 단위로 측정할 수 없는 두 선분이 존재한다.
두 선분 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)는 네제곱근 평균이 되고, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)도 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)와 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
\({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정 할 수 있고, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AB}}^2\)은 \({\overline{\rm BC}}^2\)와 AB와 같은 단위로 측정할 수없는 선분으로 만든 정삭가형 넓이를 더한 것 보다 크게 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 잡자. [X권 명제 32]
선분 \(\overline{\rm AB}\) 위에 반원 \(\rm ADB\)를 그리자. 앞에서와 같이 도형을 그리자. 그러면 \(\overline{\rm AF}\)와 \(\overline{\rm FB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로[X권 명제 18], \({\overline{\rm AD}}^2\)과 \({\overline{\rm DB}}^2\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그리고 \({\overline{\rm AB}}^2\)이 네제곱근 평균이므로 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)(\(={\overline{\rm AB}}^2\))도 네제곱근 평균이다. [III권 명제 31, I권 명제 47]
\(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FB}={\overline{\rm BE}}^2\)(\(={\overline{\rm DF}}^2\))이므로 \(\overline{\rm BE}=\overline{\rm DF}\)이다.
그러므로 \(\overline{\rm BC}=2\cdot\overline{\rm FD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm FD}\)이다. \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)가 네제곱근 평균이므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm FD}\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 32, 따름정리]
그리고 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm FD}=\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다. [X권 명제 32, 보조정리] 그러므로 \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(\overline{\rm BC}\)와 \(\overline{\rm BE}\)도 같은 단위로 측정할 수 없으므로, \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BE}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 따라서 \({\overline{\rm AB}}^2\)과 \({\overline{\rm BE}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그런데 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2={\overline{\rm AB}}^2\)이다. [I권 명제 47] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm FD}=\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BE}\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)은 \(\overline{\rm AD}\cdot \overline{\rm DB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)는 네제곱근 평균이 되고, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)도 네제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)와 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
이 명제는 [X권 명제 41]과 [X권 명제 78]에서 사용된다.