X 권
명제
길이가 유리수인 선분에서 길이가 유리수인 선분을 뺏다. 뺀 선분과 전체 선분은 그들로 만든 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 남은 선분은 무리수이다. 이것을 ‘뺀 선분’이라 하자.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AB\)에서 길이가 유리수인 \(\rm BC\)를 뺏다. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이고 단 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 남은 선분 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. \(\overline{\rm AC}\)을 ‘뺀 선분’이라 하자.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AB\)에서 길이가 유리수인 \(\rm BC\)를 뺏다. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이고 단 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 ‘뺀 선분’이라 부르는 남은 선분 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}={\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm BC}}^2\)이므로 \({\overline{\rm AB}}^2\)는 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \({\overline{\rm AB}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+{\overline{\rm AC}}^2\)이므로 [II권 명제 7], \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13, 명제 16]
그런데 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)는 무리수이다. [X권 정의 4] 선분 \(\overline{\rm AC}\)를 뺀 선분이라 하자.
Q.E.D.
이 명제는 이후 X권 명제들에서 [X권 명제 75]를 시작으로 자주 사용된다. 또한 [XIII권 명제 6]과 [XIII권 명제 11]에서도 사용된다.
이 명제는 대수적으로는 뺀 선분은 \(x-y=\rho + \rho\sqrt{k}\)의 형태이다.