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증명
선분 \(\rm AB\)에서 선분 \(\rm BC\)을 빼자. \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\)와
\({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고
\(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이고, \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은
\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. [X권 명제 35] 그러면 \(\overline{\rm
AC}\)는 무리수임을 보이자. 이 선분을 ‘네제곱근 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.
길이가 유리수 \(\overline{\rm DI}\)인 선분 \(\overline{\rm DI}\)을 한 변으로 하고 (직사각형 \(\rm DIEG\)
넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)인 직사각형 \(\rm DIEG\)를 작도하자. 그리면 나머지 한 변은 \(\rm
DG\)이다.
그리고 선분 \(\overline{\rm DI}\)을 한 변으로 하고 (직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm
BC}\)인 직사각형 \(\rm DIHF\)를 작도하자. 그리면 (직사각형 \(\rm FHEG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm DEEG\) 넓이)\(-\)(직사각형
\(\rm DIHF\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm FHEG\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2\) 이다. [II권 명제 7] \(\overline{\rm AC}\)는
넓이가 직사각형 \(\rm FHEG\)과 같은 정사각형의 변이다.
\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)는 네제곱근 평균이고 (직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)\(={\overline{\rm
AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)이므로 (직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)는 네제곱근 평균이다. 그리고 직사각형 \(\rm DIEG\)의 한
변이 길이가 유리수인 \(\overline{\rm DI}\)이므로 나머지 한 변 \(\overline{\rm DG}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm DI}\)와
같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 22]
\(=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 네제곱근 평균이며 (직사각형 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm
BC}=\)\(\rm DIHF\) 넓이)이므로 \(\rm DIHF\) 넓이)도 네제곱근 평균이다. 직사각형 \(\rm DIHF\)의 한 변의 길이가 유리수
\(\overline{\rm DI}\)이므로 나머지 한 변 \(\overline{\rm DF}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm DI}\)와 같은 단위로 측정할 수
없다. [X권 명제 22]
\({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)과 같은 단위로 측정할 수
없으므로 (직사각형 \(\rm DIEG\) 넓이)도 (직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm
DIEG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm DIHF\) 넓이)\(=\overline{\rm DG}:\overline{\rm DF}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로
\(\overline{\rm DG}\)는 \(\overline{\rm DF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
\(\overline{\rm DG}\)와 \(\overline{\rm DF}\) 모두 유리수이고 단 \({\overline{\rm DG}}^2\)와 \({\overline{\rm DF}}^2\) 만을
같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
\(\overline{\rm FG}\)는 유리수이다. 그런데 길이가 유리수인 선분과 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이는 무리수이다.
[X권 명제 20 중에서] 그러므로 이 직사각형 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변의 길이는 무리수이다.
그런데 (직사각형 \(\rm FHEG\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 무리수이다. 이 선분을
‘네제곱근 넓이와 더해서 네제곱근 평균 넓이를 만드는 선분’이라 하자.
Q.E.D.
