X 권
명제
보조명제
길이가 다른 두 선분에 대하여, 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이와 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 차이만큼 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 만들 수 있다.
\(\overline{\rm AB}>c\)인 직선 \(\rm AB\), 수 \(c\)에 대하여, 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2-c^2\)과 같은 어떤 선분이 존재한다.
X 권
명제
길이가 다른 두 선분에 대하여, 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이와 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 차이만큼 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 만들 수 있다.
\(\overline{\rm AB}>c\)인 직선 \(\rm AB\), 수 \(c\)에 대하여, 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2-c^2\)과 같은 어떤 선분이 존재한다.
\(\overline{\rm AB}>c\)인 직선 \(\rm AB\), 수 \(c\)에 대하여, 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2-c^2\)과 같은 어떤 선분이 존재함을 보여야 한다.
선분 \(\rm AB\)에 반원 \(\rm ADB\)를 작도하자. 이 반원에 \(\overline{\rm AD}=c\)인 선분 \(\rm AD\)를 작도하자. [VI권 명제 1] 선분 DB를 그려라.
그러면 \(\angle\rm ADB=90^\circ\)임은 자명하다. [III권 명제 31]
따라서 \({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm BD}}^2={\overline{\rm AD}}^2+c^2\)이다. [I권 명제 47]
이와 비슷한 방법으로 두 선분이 주어졌을 때, 그 두 선분으로 만든 정사각형들을 더한 것과 넓이가 같은 어떤 선분으로 만든 정사각형의 넓이가 같은 그 어떤 선분을 그릴 수 있다.
어떤 선분의 제곱이 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)에 대하여, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)와 같은 어떤 선분을 구하여 보자.
두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)를 한 점 \(\rm D\)가 직각이 되게 작도하여라. 그리고 선분 \(\rm AB\)를 그리자.
그러면 두 선분 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2={\overline{\rm AB}}^2\)인 것은 자명하자. [I권 명제 47]
그러므로 길이가 다른 두 선분에 대하여, 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이와 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 차이만큼 어떤 선분으로 만든 정사각형 넓이와 같게 만들 수 있다.
Q.E.D.
네 수가 서로 비례 한다고 하자. 그리고 첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.
첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족하고, 두 수 \(e\), \(f\)는 \(a^2=b^2+e^2\)과 \(c^2=d^2+f^2\)을 만족한다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(e\)를 같은 단위로 측정할 수 있으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 수 \(a\), \(e\)를 같은 단위로 측정할 수 없으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족하고, 두 수 \(e\), \(f\)는 \(a^2=b^2+e^2\)과 \(c^2=d^2+f^2\)을 만족한다고 하자. 그러면 두 수 \(a\), \(e\)를 같은 단위로 측정할 수 있으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 있고, 두 수 \(a\), \(e\)를 같은 단위로 측정할 수 없으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
\(a:b=c:d\)이므로 \(a^2:b^2=c^2:d^2\)이다. [VI권 명제 22]
그런데 \(e^2+b^2=a^2\)이고 \(d^2+f^2=c^2\)이다. 그러므로 \(\left(e^2+b^2\right):b^2=\left(d^2+f^2\right):d^2\)이다.
그러므로 비례식 빼기에 의해서 \(e^2:b^2=f^2:d^2\)이다. [V권 명제 17]
그러므로 \(e:b=f:d\)이다. [VI권 명제 22] 그러므로 \(b:e=d:f\)이다. [VII권 명제 7 따름명제]
그런데 \(a:b=c:d\)이다. 그러므로 \(a:e=c:f\)이다. [V권 명제 22]
그러므로 두 수 \(a\), \(e\)가 같은 단위로 측정할 수 있으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그리고 두 수 \(a\), \(e\)가 같은 단위로 측정할 수 없으면 두 수 \(c\), \(f\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그러므로 그러므로 네 수가 서로 비례 한다고 하자. 그리고 첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다.
첫 번째 수의 제곱이 두 번째 수의 제곱 보다 첫 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다고 하자. 그러면 세 번째 수의 제곱이 네 번째 수의 제곱 보다 네 번째 선분과 같은 단위로 측정할 수 없는 어떤 선분의 제곱의 합과 같다
Q.E.D.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다.
네 수 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)는 \(a:b=c:d\)를 만족한다.(단, \(a>b\), \(c>d\)이다.) 그러면 \(\sqrt{a^2-b^2}:a=\sqrt{c^2-d^2}:c\)을 만족한다.
이 보조 명제는 [XI권 명제 23]의 보조명제와 같다. 이 명제는 [X권 명제 31]을 시작으로 [X권]에서 가끔 사용된다.