애플릿

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증명

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선분 \(\rm AB\)가 짧은 선분이고, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm AB}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)도 짧은 선분임을 보이자.

앞의 명제와 같이 도형을 그리자. 그러면 \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm EB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없으니 [X권 명제 76], \({\overline{\rm CF}}^2\)와 \({\overline{\rm FD}}^2\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]

\(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이므로 [V권 명제 12, 명제 16] \({\overline{\rm AE}}^2:{\overline{\rm EB}}^2={\overline{\rm CF}}^2:{\overline{\rm FD}}^2\)이다. [VI권 명제 22]

그러므로 더한 비례식에 의해서 \(\left({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\right):{\overline{\rm EB}}^2=\left({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\right):{\overline{\rm EB}}^2\)이다. [V권 명제 18]

그런데 \({\overline{\rm BE}}^2\)와 \({\overline{\rm DF}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)는 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [V권 명제 15, X권 명제 11]

그런데 \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)은 유리수이다. [X권 명제 76] 그러므로 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)도 유리수이다. [X권 정의 I 4]

\({\overline{\rm AE}}^2:\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}={\overline{\rm CF}}^2:\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)이고 \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm CF}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)와 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.

그런데 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)은 제곱근 평균이므로 [X권 명제 76] \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름 명제]

그러므로 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)는 \({\overline{\rm CF}}^2\)과 \({\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 유리수이고 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)는 제곱근 평균이다. 그러므로 선분 \(\rm CD\)는 짧은 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.