애플릿

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증명

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이항 선분 \(\rm AB\)를 한 점 \(\rm C\)로 잘라서 두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)는 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. [X권 명제 36] 그러면 선분 \(\rm AB\)의 다른 점들에 의해서 나누어진 두 선분을 한 변으로 하는 각각의 두 정사각형의 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없다는 것을 보이자.

결론을 부정하여서 점 \(\rm C\)가 아닌 점 \(\rm D\)에 의해서 나누어진 두 선분을 한 변으로 하는 각각의 두 정사각형의 넓이가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 즉, 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)에 의해서 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)가 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자.

\(\overline{\rm AC}\ne\overline{\rm DB}\)은 명백하다. 왜내하면, \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm DB}\)이면 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm DA}\)이기 때문이다. 따라서 점 \(\rm D\)는 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)가 자른 것과 같은 길이로 자른다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\ne\overline{\rm DB}\)이다.

같은 이유로 두 점 \(\rm C\), \(\rm D\)는 중점에서 같은 거리에 있지 않다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\ne{\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)이거나, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\ne2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다. 왜냐하면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2+2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}={\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2+2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}={\overline{\rm AC}}^2\)이기 때문이다.

그런데 \(\left|{\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2-{\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\right|\)는 유리수이다. 왜냐하면 이들 넓이들은 같은 단위로 측정할 수 있기 때문이다.

또한 \(\left|2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\ne2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\right|\)도 유리수이다. 왜냐하면 이들 값들은 네제곱근 평균이기 때문이다. [X권 명제 21]

그러므로 이것은 불가능하다. 네제곱근 평균인 두 넓이는 유리수 만큼 차이가 날 수가 없다. [X권 명제 26]

그러므로 이항 선분은 다른 어떤 점에서도 가정에 맞도록 자를 수 없다. 그러므로 한 점에서만 가정에 맞게 자를 수 있다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 [X권 명제 47]에서 사용된다.