애플릿

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증명

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뺀 선분 \(\rm AB\)에 선분 \(\rm BC\)를 이어 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 유리수이며, 단 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. [X권 명제 73] 그러면 선분 \(\rm BC\)과 선분 \(\overline{\rm AC}\) 만이 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있음을 보이자.

만약 다른 것이 있다고 하자. 그러한 선분을 \(\rm BD\)라 하자. \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 유리수이며 \({\overline{\rm AD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. [X권 명제 73]

\({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2-2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}={\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2-2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다. 왜냐하면 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2-2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}={\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2-2\cdot\overline{\rm AC}\)이기 때문이다. [II권 명제 7]

그러므로 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2-{\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2=2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}-2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다.

그런데 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2-{\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)는 유리수이다. 왜냐하면 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\) 둘 다 유리수이기 때문이다. 그러므로 \(2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}-2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)도 유리수이다. 그러나 이것은 불가능하다. 왜냐하면 두 다 네제곱근 평균이며 [X권 명제 21] 두 네제곱근 평균의 차이는 유리수일 수는 없다. [X권 명제 26]

그러므로 선분 \(\rm BC\)과 선분 \(\overline{\rm AC}\) 만이 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 뺀 선분에가 붙여서 전체 선분과 정사각형의 넓이만을 같이 단위로 측정할 수 있는 것은 단 하나 뿐이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 [X권 명제 81], [X권 명제 84]에서 사용된다.

이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다.

\(a-\sqrt{b}=x-\sqrt{y}\)이면 \(a=x\) 그리고 \(b=y\)이다.

\(\sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\)이면 \(a=x\) 그리고 \(b=y\)