애플릿

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증명

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길이가 네제곱근 평균인 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 잡자. \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)라 할 때 \({\overline{\rm AB}}^2\)은 \({\overline{\rm BC}}^2\)과 \(\overline{\rm AB}\)와 길이를 같이 단위로 측정할 수 없는 선분의 제곱의 합과 같은 선분이 존재한다. [X권 명제 31]

선분 \(\rm AB\) 위에 반원 \(\rm ADB\)를 그리자. 선분 \(\rm BC\)의 중점을 E라 하자. \(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FB}={\overline{\rm BE}}^2\)가 되도록하고 두 선분\(\rm AF\), \(\rm FB\)를 두 변으로 하는 직사각형을 선분 \(\rm AB\) 위에 놓으면 정사각형을 뺀 모양이 되도록 점 \(\rm F\)를 잡자. [VI권 명제 24] 그러면 두 선분 \(\rm AF\), \(\rm FB\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 18] 점 F에서 선분 \(\rm AB\)에 수직이 되도록 선분 \(\rm FD\)를 그리자. 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)를 그리자.

두 선분 \(\rm AF\), \(\rm FB\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BF}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11] 그런데 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm AF}={\overline{\rm AD}}^2\)이고, \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BF}={\overline{\rm DB}}^2\)이므로 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.

\({\overline{\rm AB}}^2\)은 네제곱근 평균이므로 \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)도 네제곱근 평균이다. [III권 명제 21, I권 명제 47]

\(\overline{\rm BC}=2\cdot\overline{\rm DF}\)이므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}=2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm FD}\)이다. \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 유리수이다. \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm FD}\)도 유리수이다. [X권 명제 6] 그런데 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm FD}=\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다. [X권 명제 32 보조법칙] 그러므로 \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 유리수이다.

그러므로 두 선분 \(\rm AD\), \(\rm DB\)에 대하여 \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없으며, 네제곱근 평균이고, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 유리수이다.

부연설명

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이 명제는 [X권 명제 40]에서 사용된다.