애플릿

---

---

증명

---

$\overline{\mathrm{A}\mathrm{B}}$는 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이라 하자. 그리고 선분 $\mathrm{C}\mathrm{D}$가 선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$도 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이임을 보이자.

선분 $\mathrm{A}\mathrm{B}$를 점 $\mathrm{E}$로 나누자. 나누어진 두 선분 $\mathrm{A}\mathrm{E}$, $\mathrm{E}\mathrm{B}$는 ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 없으며, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2+{\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$는 제곱근 평균이며, $\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}\cdot \overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}$는 유리수이다. [X권 명제 40]

앞의 명제와 같이 작도하자. 그러면 같은 이유로 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 없으며, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2+{\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2+{\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 있으며, ${\overline{\mathrm{A}\mathrm{E}}}^2\cdot {\overline{\mathrm{E}\mathrm{B}}}^2$와 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2\cdot {\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 ${\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}}^2+{\overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}}^2$는 제곱근 평균이며, $\overline{\mathrm{C}\mathrm{F}}\cdot \overline{\mathrm{F}\mathrm{D}}$는 유리수이다. 그러므로 $\overline{\mathrm{C}\mathrm{D}}$는 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이이다.

Q.E.D.

부연설명

---

이 명제는 이후 명제에서 사용되지 않는다.