애플릿

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증명

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\(\overline{\rm AB}\)는 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이라 하자. 그리고 선분 \(\rm CD\)가 선분 \(\rm AB\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이임을 보이자.

선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm E\)로 나누자. 나누어진 두 선분 \(\rm AE\), \(\rm EB\)는 \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm EB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)는 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 유리수이다. [X권 명제 40]

앞의 명제와 같이 작도하자. 그러면 같은 이유로 \({\overline{\rm CF}}^2\)와 \({\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)와 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AE}}^2\cdot{\overline{\rm EB}}^2\)와 \({\overline{\rm CF}}^2\cdot{\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 유리수인 넓이와 제곱근 평균인 넓이를 더한 길이이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 명제에서 사용되지 않는다.