X 권
명제
두 선분이 있다. 첫 번째 선분과 두 번째 선분의 길이의 비는 첫 번째 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 두 선분으로 만든 직사각형 넓이의 비와 같다.
두 선분 \(\rm FE\), \(\rm EG\)가 있다. \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FE}+\overline{\rm EG}\)이다. 그러면 \(\overline{\rm FE}:\overline{\rm EG}={\overline{\rm FE}}^2:{\overline{\rm EG}}^2\)이다.
두 선분 \(\rm FE\), \(\rm EG\)가 있다. \(\overline{\rm FG}=\overline{\rm FE}+\overline{\rm EG}\)이다.
그러면 \(\overline{\rm FE}:\overline{\rm EG}={\overline{\rm FE}}^2:{\overline{\rm EG}}^2\)임을 보여야 한다.
선분 \(\rm FE\) 위에 정사각형 \(\rm FEDA\)를 그리자. 그리고 직사각형 \(\rm EGBD\)를 그리자.
그러면 \(\overline{\rm FE}:\overline{\rm EG}=\)(정사각형 \(\rm FEDA\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EGBD\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그런데 정사각형 \(\rm FEDA\)는 선분 \(\rm FE\)를 한 변으로 하는 정사각형이고, 직사각형 \(\rm EGBD\)는 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm EG\)가 두 변인 직사각형이다.
그러므로 \(\overline{\rm FE}:\overline{\rm EG}={\overline{\rm FE}}^2:{\overline{\rm EG}}^2\)이다.
그러므로 두 선분이 있다. 첫 번째 선분과 두 번째 선분의 길이의 비는 첫 번째 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 두 선분으로 만든 직사각형 넓이의 비와 같다.
Q.E.D.
네제곱 평균의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 작도하자. 이 정사각형 넓이와 같은 직사각형을 길이가 유리수인 한 변 위에 작도하자. 그러면 이 때 다른 변의 길이는 유리수인 한 변과 같은 단위로 측정할 수 없다.
선분 \(a\)가 네제곱 평균이라 하고, 선분 \(\rm CB\)의 길이가 유리수라 하자. 선분 \(\rm CB\) 위에 작도된 직사각형 \(\rm BCDH\)는 (직사각형 \(\rm BCDH\) 넓이)\(=a^2\)이다. 선분 \(\rm CD\)의 길이는 선분 \(\rm CB\)의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없다.
선분 \(a\)가 네제곱 평균이라 하고, 선분 \(\rm CB\)의 길이가 유리수라 하자. 선분 \(\rm CB\) 위에 작도된 직사각형 \(\rm BCDH\)는 (직사각형 \(\rm BCDH\) 넓이)\(=a^2\)이다.
그러면 선분 \(\rm CD\)의 길이는 선분 \(\rm CB\)의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다. 즉, 무리수임을 보여야 한다.
\(a\)가 네제곱 평균이므로 \(a\)를 한 변으로 하는 정사각형 넓이 \(a^2\)은 두 길이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 두 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이만을 같이 단위로 측정할 수 있는 두 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같다. [X권 명제 21] 이 직사각형을 GEFI라 하자.
(정사각형 \(\rm BCDH\) 넓이)\(=a^2\)이므로 (직사각형 \(\rm BCDH\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm GEFI\) 넓이)이다.
두 직사각형 \(\rm BCHD\), \(\rm GEFI\)는 모든 각이 \(90^\circ\)로 같다.
넓이가 같고 각이 모두 같은 두 평행사변형은 같은 끼고 있는 변들의 길이가 역으로 비례 한다. [VI권 명제 14] 그러므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm EG}=\overline{\rm EF}:\overline{\rm CD}\)이다.
그러므로 \({\overline{\rm BC}}^2:{\overline{\rm EG}}^2={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm CD}}^2\)이다. [VI권 명제 22]
그런데 \({\overline{\rm CB}}^2\), \({\overline{\rm EG}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 \(\overline{\rm CB}\), \(\overline{\rm EG}\)가 유리수이기 때문이다. 그러므로 \({\overline{\rm EF}}^2\), \({\overline{\rm CD}}^2\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.[X권 명제 11]
그런데 \({\overline{\rm EF}}^2\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm CD}}^2\)도 유리수이다. [X권 정의 4]
\(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm EG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm EF}}^2\), \({\overline{\rm EG}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있고 \(\overline{\rm EF}:\overline{\rm EG}={\overline{\rm EF}}^2:\overline{\rm FE}\cdot \overline{\rm EG}\)이므로[보조명제], \({\overline{\rm EF}}^2\), \(\overline{\rm FE}\cdot \overline{\rm EG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
\({\overline{\rm CD}}^2\), \({\overline{\rm EF}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이기 때문이다.
그리고 \(\overline{\rm DC}\cdot \overline{\rm CB}\), \(\overline{\rm FE}\cdot \overline{\rm EG}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 \(\overline{\rm DC}\cdot \overline{\rm CB}= \overline{\rm FE}\cdot \overline{\rm EG}=a^2\)이기 때문이다.
그러므로 \({\overline{\rm CD}}^2\)과 \(\overline{\rm DC}\cdot \overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그런데 \({\overline{\rm CD}}^2:\overline{\rm DC}\cdot \overline{\rm CB}=\overline{\rm DC}:\overline{\rm CB}\)이다. [보조명제]
그러므로 \(\overline{\rm DC}\)와 \(\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 유리수이지만 \(\overline{\rm CB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 네제곱 평균의 길이를 한 변으로 하는 정사각형을 작도하자. 이 정사각형 넓이와 같은 직사각형을 길이가 유리수인 한 변 위에 작도하자. 그러면 이 때 다른 변의 길이는 유리수인 한 변과 같은 단위로 측정할 수 없다.
Q.E.D.
\(a\)가 네제곱근 평균이고, \(\overline{\rm BC}\)가 유리수라하면, \(\overline{\rm CD}= \frac{a^2}{\overline{\rm BC}}\)이고 \(\overline{\rm CD}\)는 유리수이지만 \(\overline{\rm BC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
\(b=\overline{\rm BC}\), \(c=\overline{\rm CD}\)라 하자. \(a^4\)이 유리수이므로 \(a^2\)은 무리수이다. \(b^2\)은 유리수이다. \(c^2=\frac{a^4}{b^2}\)이므로 유리수이다. 그런데 \(\frac cb=\frac {a^2}{b^2}\)이므로 \(\frac cb\)는 무리수이다. 두 유리수의 곱셈 또는 나눗셈의 값은 유리수이지만 무리수와 유리수이 곱셈과 나눗셈의 값은 무리수이다.
이 명제는 다음 명제를 시작으로 [X권]에서 자주 사용된다.