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증명
\(\overline{\rm AB}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없고,
\({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm AB}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm
AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이며 \(\overline{\rm BF}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할
수 없는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)가 존재함을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AB}\)는 길이가 유리수가 되도록 잡고, \(\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 제곱수이며
\(\overline{\rm CD}=\overline{\rm CE}+\overline{\rm ED}\)인 \(\overline{\rm CD}\)가 제곱수가 않되도록 \(\overline{\rm CE}\),
\(\overline{\rm ED}\)를 잡자. [보조법칙 2] 선분 \(\rm AB\) 위에 반원 \(\rm AFB\)를 그리자. 그리고 \(\overline{\rm
DC}:\overline{\rm CE}={\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm AF}}^2\)이 되도록 점 \(\rm F\)를 잡아라. [X권 명제 6 따름명제]
선분 \(\rm FB\)를 그리자.
그러면 이전 명제와 같은 방법으로 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm AF\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)는 같은 단위로
측정할 수 없으나 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AF}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있음을 보일 수 있다.
그리고 \(\overline{\rm DC}:\overline{\rm CE}={\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm AF}}^2\)이므로
\(\overline{\rm CD}:\left(\overline{\rm CD}-\overline{\rm CE}\right)={\overline{\rm AB}}^2:\left({\overline{\rm
AB}}^2-{\overline{\rm AF}}^2\right)\)
\(\overline{\rm CD}:\overline{\rm DE}={\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm BF}}^2\)
이다. [V권 명제 19 따름명제, III권 명제 31, I권 명제 47]
그런데 \(\overline{\rm CD}:\overline{\rm DE}\)는 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \({\overline{\rm AB}}^2:{\overline{\rm
BF}}^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권
명제 9]
\({\overline{\rm AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이다. 그리고 \(\overline{\rm BF}\), \(\overline{\rm
AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm AF}\)는 같은 단위로 측정할 수
없으나 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm AF}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있으며 \({\overline{\rm
AB}}^2={\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm BF}}^2\)이고 \(\overline{\rm BF}\), \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할
수 없다.
그러므로 두 선분은 그 길이는 같은 단위로 측정할 수 없고 그 선분이 한 변인 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있고, 긴
선분이 한 변인 정사각형 넓이는 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한
변인 정사각형 넓이의 합과 같도록 하는 두 선분이 존재한다.
Q.E.D.
