X 권
명제
명제 13
두 수는 같은 단위로 측정할 수 있으며, 그 중 한 수가 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러면 나머지 수도 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, 수 \(a\)와 수 \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 수 \(b\)와 수 \(c\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
X 권
명제
두 수는 같은 단위로 측정할 수 있으며, 그 중 한 수가 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러면 나머지 수도 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, 수 \(a\)와 수 \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자. 그러면 수 \(b\)와 수 \(c\)도 같은 단위로 측정할 수 없다.
두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, 수 \(a\)와 수 \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자.
그러면 수 \(b\)와 수 \(c\)도 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
두 수 \(b\), \(c\)가 같은 단위로 측정할 수 있다고 가정하자. 그러면 두 수 \(a\), \(c\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12]
그런데 \(a\), \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 없다고 하였으므로 이것은 모순이다.
그러므로 \(b\), \(c\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 두 수는 같은 단위로 측정할 수 있으며, 그 중 한 수가 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러면 나머지 수도 다른 어떤 수와 같은 단위로 측정할 수 없다.
Q.E.D.
이 명제는 이전 명제의 논리적인 변형이다. [X권 명제 18]을 시작으로 [X권]에서 자주사용된다.