X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 여섯 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며, 그 변은 정사각형의 넓이가 제곱근 평균인 두 넓이인 한 변의 길이이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 여섯 번째 이항 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 그 한 변은 정사각형의 넓이가 제곱근 평균인 두 넓이인 한 변의 길이이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 여섯 번째 이항 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 선분 \(\rm AD\)를 점 \(\rm E\)로 잘르고 \(\overline{\rm AE} > \overline{\rm ED}\)라 하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 길이는 두 제곱근 평균의 넓이를 갖는 정삭가형의 한 변과 같다는 것을 보이자.
앞에서와 같은 방법으로 도형을 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm MO}\)는 직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이와 같은 정사각형의 한 변이며, \({\overline{\rm MN}}^2\)과 \({\overline{\rm NO}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
\(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm AB}\)는 유리수이며 단, \({\overline{\rm AE}}^2\)와 \({\overline{\rm AB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 (직사각형 \(\rm ABKE\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 즉, \({\overline{\rm MN}}^2+{\overline{\rm NO}}^2\)은 제곱근 평균이다. \(\overline{\rm ED}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으므로, \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm EK}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 따라서 \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm EK}\)는 유리수이며 단, \({\overline{\rm EF}}^2\)와 \({\overline{\rm EK}}^2\) 만을 같은 단위로 측정 할 수 있다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 널이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 즉, (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\overline{\rm MN}\cdot\overline{\rm NO}\)는 제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm EF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 (직사각형 \(\rm ABKE\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
그런데 \({\overline{\rm MN}}^2+{\overline{\rm NO}}^2\)은 (직사각형 \(\rm MNRI\) 넓이)\(=\overline{\rm MN}\cdot\overline{\rm NO}\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. 그리고 이 값들은 제곱근 평균이며, \({\overline{\rm MN}}^2\)과 \({\overline{\rm NO}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm MO}\)는 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 넓이를 갖는 정사각형 한 변의 길이이며 [X권 명제 41], 즉, (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)인 넓이를 갖는 정사각형의 한 변이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72]에서 사용된다.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다. \(k\)는 양의 정수, \(\rho\)는 유리수, \(\lambda\)는 \(0<\lambda < k\)인 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}=\rho\), \(\overline{\rm AD}=\rho\sqrt{k}+\rho\sqrt{\lambda}\)
\(\displaystyle\overline{\rm AG}=\frac{\rho}{2}\left(\sqrt{k}+\sqrt{k-\lambda}\right)\), \(\displaystyle\overline{\rm AE}=\frac{\rho}{2}\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-\lambda}\right)\)
\(\displaystyle\overline{\rm MN}=\rho\sqrt{\frac12\left(\sqrt{k}+\sqrt{k-\lambda}\right)}\), \(\displaystyle\overline{\rm NO}=\rho\sqrt{\frac12\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-\lambda}\right)}\)