X 권
명제
길이가 유리수인 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같은 넓이를 갖고 한 변이 이항 선분인 직사각형을 작도하자. 그러면 나머지 한 변은 뺀 선분이며, 이 선분은 이항 선분과 같은 단위로 측정할 수 있고, 비율도 같ㅇ며, 이항 선분과 같은 종류이니 뺀 선분이다.
길이가 인 선분이 있고, 선분 \(\rm BC\)는 이항 선분이며, 점 \(\rm D\)에 의해서 선분 \(\rm BC\)가 나누어지며 \(\overline{\rm DC}>\overline{\rm BD}\)라 하자. \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm EF}=a^2\)이라 하자. 그러면 \(\rm EF\)는 뺀 선분이며, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm DB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고 가은 비율이며, \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 같은 종류이다.
길이가 인 선분이 있고, 선분 \(\rm BC\)는 이항 선분이며, 점 \(\rm D\)에 의해서 선분 \(\rm BC\)가 나누어지며 \(\overline{\rm DC}>\overline{\rm BD}\)라 하자. \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm EF}=a^2\)이라 하자. 그러면 \(\rm EF\)는 뺀 선분이며, \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm DB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고 가은 비율이며, \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm BC}\)는 같은 종류임을 보이자.
\(\overline{\rm BD}\cdot g=a^2\)가 되도록 잡자. 그러면 \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm EF}=\overline{\rm BD}\cdot g\)이다. [X권 명제 16]
그런데 \(\overline{\rm CB} > \overline{\rm BD}\)이다. 그러므로 \(g > \overline{\rm EF}\)이다. [V권 명제 16, 명제 14] \(\overline{\rm EH}=g\)가 되도록 \(\rm EH\)를 긋자. 그러면 \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BD}=\overline{\rm HE}:\overline{\rm EF}\)이다. 그러므로 뺀 비례식에 의해서 \(\overline{\rm CD}:\overline{\rm BD}=\overline{\rm HF}:\overline{\rm FE}\)이다. [V권 명제 17]
\(\overline{\rm HF}:\overline{\rm FE}=\overline{\rm FK}:\overline{\rm KE}\)이 되도록 하자. \(\overline{\rm HK}:\overline{\rm KF}=\overline{\rm FK}:\overline{\rm KE}\)이다. 왜냐하면 한 전자와 한 후자의 비율은 전자들을 모두 더한 것과 후자들을 모두 더한 것의 비율이 같기 때문이다. [V권 명제 12] 그런데 \(\overline{\rm FK}:\overline{\rm KE}=\overline{\rm CD}:\overline{\rm BD}\)이다. [V권 명제 11]
그런데 \({\overline{\rm CD}}^2\)와 \({\overline{\rm DB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 36] 그러므로 \({\overline{\rm HK}}^2\)과 \({\overline{\rm KF}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [VI권 명제 22, X권 명제 11]
그리고 \({\overline{\rm HK}}^2:{\overline{\rm KF}}^2=\overline{\rm HK}:\overline{\rm KE}\)이다. 왜냐하면 \(\overline{\rm HK}:\overline{\rm KF}=\overline{\rm KF}:\overline{\rm KE}\)이기 때문이다. [V권 정의 9] 그러므로 \(\overline{\rm HK}\), \(\overline{\rm KE}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm HE}\), \(\overline{\rm EK}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15]
\(a^2=\overline{\rm EH}\cdot\overline{\rm BD}\)이고 \(a^2\)은 유리수이므로 \(\overline{\rm EH}\cdot\overline{\rm BD}\)도 유리수이다. 직사각형 \(\rm BDEH\)의 한 변의 길이가 \(\overline{\rm BD}\)이므로 나머지 변 \(\overline{\rm EH}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm BD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 22] \(\overline{\rm EK}\)와 \(\overline{\rm EH}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm EK}\)는 유리수이고 \(\overline{\rm BD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다.
그런데 \(\overline{\rm CD}:\overline{\rm DB}=\overline{\rm FK}:\overline{\rm KE}\)이고 \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm DB}\)는 단 \({\overline{\rm CD}}^2\)와 \({\overline{\rm DB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm FK}\)와 \(\overline{\rm KE}\)는 단 \({\overline{\rm EK}}^2\)와 \({\overline{\rm KE}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
그런데 \(\overline{\rm KE}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm FK}\)도 유리수이다. \(\overline{\rm FK}\)와 \(\overline{\rm KE}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm EK}}^2\)와 \({\overline{\rm KE}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
\({\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm DB}}^2+\)(\(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이거나 \({\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm DB}}^2+\)(\(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다.
\({\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm DB}}^2+\)(\(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이면 \({\overline{\rm FK}}^2={\overline{\rm KE}}^2+\)(\(\overline{\rm FK}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 14]
만약 \(\overline{\rm CD}\)가 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm FK}\)도 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있고 [X권 명제 11, 12] 만약 \(\overline{\rm BD}\)가 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm KE}\)도 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있고 [X권 명제 12], 만약 \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm DB}\) 둘 다 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없으면 \(\overline{\rm FK}\)와 \(\overline{\rm KE}\)도 둘 다 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
\({\overline{\rm CD}}^2={\overline{\rm DB}}^2+\)(\(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이면 \({\overline{\rm FK}}^2={\overline{\rm KE}}^2+\)(\(\overline{\rm FK}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 14]
만약 \(\overline{\rm CD}\)가 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm FK}\)도 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있고 [X권 명제 11, 12] 만약 \(\overline{\rm BD}\)가 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm KE}\)도 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있고 [X권 명제 12], 만약 \(\overline{\rm CD}\)와 \(\overline{\rm DB}\) 둘 다 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없으면 \(\overline{\rm FK}\)와 \(\overline{\rm KE}\)도 둘 다 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \(\overline{\rm FE}\)는 뺀 선분이다. \(\overline{\rm FK}\), \(\overline{\rm KE}\)는 이항 선분 \(\overline{\rm CD}\), \(\overline{\rm DB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며 \(\overline{\rm BC}\)와 같은 종류이다.
Q.E.D.
이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.