애플릿
증명
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\),
\(\overline{\rm BC}\) 각각과 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
두 수 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\)를 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 이 두 수 \(\overline{\rm
AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\)B의 공약수가 존재하고 그 공약수를 \(d\)라 하자.
\(d\)는 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\)를 나눈다. \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm AC}-\overline{\rm
AB}\)이므로 \(d\)는 \(\overline{\rm BC}\)도 나눈다.
그런데 \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\)도 나눈다. 그러므로 d는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 모두 나눈다. 즉,
d는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 공약수이다.
그런데 이것은 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 같은 단위로 측정할 수 없다고 한 가정에 모순이다.
그러므로 두 수 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\)를 동시에 나누는 수는 존재하지 않는다.
그러므로 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 정의 1]
같은 방법으로 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\)를 같은 단위로 측정할 수 없음을 보일 수 있다.
그러므로 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\) 각각과 같은 단위로 측정할 수 없다.
다음으로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm AB}\)가 같은
단위로 측정할 수 없다고 하자.
그러면 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)도 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 이 두 수 \(\overline{\rm AB}\),
\(\overline{\rm BC}\)를 동시에 나누는 수(공약수)가 존재하고 그 수를 \(d\)라 하자.
\(d\)가 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 나누므로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm
BC}\)이므로 \(d\)는 \(\overline{\rm AC}\)도 나눈다.
그런데 \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\)를 나눈다. 그러므로 \(d\)는 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)를 동시에
나눈다. 즉 \(d\)는 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)의 공약수이다.
그런데 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 같은 단위로 측정할 수 없는 것에 모순이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 동시에 나누는 공약수는 존재하지 않는다.
따라서 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 정의 1]
그러므로 두 수들이 같은 단위로 측정할 수 없다면, 그 두 수를 더한 수도 이전 두 수 각각과 같은 단위로 측정할 수 없다. 역으로
두 수를 더한 수가 이전 수의 한 수와 같은 단위로 측정할 수 없다면 이전 두 수도 같은 단위로 측정할 수 없다.
Q.E.D.
