애플릿

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증명

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두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. \(\overline{\rm AC}\)(\(=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\))는 무리수임을 보여야 한다.

\({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 있으므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정 할 수 없다. 그리고 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}:{\overline{\rm BC}}^2\)이므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm BC}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]

그런데 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)은 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)과 같은 단위로 측정할 수 있으며 [X권 명제 6], \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 \({\overline{\rm BC}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수기 때문이다. [X권 명제 15] 그러므로 \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]

비례식의 덧셈 성질에 의해서, \(2\cdot\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}+{\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\) 즉, \({\overline{\rm AC}}^2\) [II권 명제 4]은 \(\left(\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\right)^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]

그런데 \({\overline{\rm AB}}^2+{\overline{\rm BC}}^2\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)은 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AC}\)도 역시 무리수이다. [X권 정의 4] 이 길이를 이항리라고 부르자.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 현대적인 용어로 바꾸면 다음과 같다.

\(a^2\), \(b^2\)은 유리수이지만 \(\frac{a}{b}\)는 무리수이면, \(\left(a+b\right)^2\)은 유리수이다. 다시 말해서, \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\) 이고 \(ab=\frac{a}{b}\cdot b^2\)이다.

여기서 \(c=a^2\), \(d=b^2\)이라고 하면 이 명제는 다음과 같이 표현할 수 있다.

\(c\), \(d\)는 유리수이고 \(\sqrt{\frac{c}{d}}\)는 무리수이면 \(\left(\sqrt{c} + \sqrt{d}\right)^2\)도 역시 무리수이다. 이때, \(\sqrt{c} + \sqrt{d}\)을 이항(binomial)이라고 한다.

이 명제는 다음 명제에서 이용되며 이후 [X권] 내에서 매우 자주 사용된다.