X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 다섯 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형을 작도하자. 이 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며, 그 선분은 정사각형의 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 더한 것의 한 변이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 다섯 번째 이항 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 정사각형의 한 변의 길이가 무리수이며, 그 선분은 정사각형의 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 더한 것의 한 변이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수인 선분 \(\rm AB\)와 다섯 번째 이항 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCD\)를 작도하자. 다섯 번째 이항 선분 \(\rm AD\)의 중점을 \(\rm E\)라 하자. 그리고 \(\overline{\rm AE}>\overline{\rm ED}\)라 하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변의 길이는 무리수이며, 이 변은 정사각형 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 더한 것의 한 변임을 보이자.
앞에서의 명제와 같이 도형을 작도하자. \(\overline{\rm MO}\)가 (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)가 넓이인 정사각형의 한 변임은 앞의 명제에서 증명하였다. 그러므로 이제 \(\overline{\rm MO}\)가 넓이가 유리수와 제곱근 평균을 더한 정사각형의 한 변임을 보이자.
\(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GE}\)은 같은 단위로 측정할 수 없으므로 [X권 명제 18], (직사각형 \(\rm ABHG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm GHKE\) 넓이)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] 즉, \({\overline{\rm MN}}^2\)과 \({\overline{\rm NO}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm MN}\)과 \(\overline{\rm NO}\)로 만든 정사각형의 넓이를 같은 단위로 측정할 수 없다.
\(\overline{\rm AD}\)는 다섯 번째 이항 선분이고, \(\overline{\rm ED}\)는 짧은 선분이니 \(\overline{\rm ED}\)는 \(\rm AB\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 정의 II 5] 그런데 \(\overline{\rm AE}\)는 \(\overline{\rm ED}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm AB}\)도 \(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 (직사각형 \(\rm ABKE\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 즉, \({\overline{\rm MN}}^2+{\overline{\rm NO}}^2\)도 제곱근 평균이다. \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있므로 \(\overline{\rm EK}\)와 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정 할 수 있으므로, \(\overline{\rm DE}\)는 \(\overline{\rm EK}\)와 같은 단위로 측정 할 수 있다. [X권 명제 12]
그리고 \(\overline{\rm EK}\)는 유리수이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EKLF\) 넓이)는 유리수이다. [X권 명제 19] 즉, \(\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}=\)(직사각형 \(\rm NMRI\) 넓이)는 유리수이다.
그러므로 두 선분 \(\rm MN\), \(\rm NO\)에 대하여, \({\overline{\rm MN}}^2\), \({\overline{\rm NO}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm MN}}^2+{\overline{\rm NO}}^2\)은 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm MN}\times\overline{\rm NO}\)은 유리수이다. 그러므로 \(\rm MO\)는 넓이가 유리수와 제곱근 평균인 정사각형의 한 변이며, (직사각형 \(\rm ABCD\) 넓이)는 같은 정사각형의 한 변이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제71]에서 사용된다.
이 명제를 대수적으로 표현하면 다음과 같다. \(k\)는 양의 정수, \(\rho\)는 유리수, \(\lambda\)는 \(0<\lambda < 1\)인 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}=\rho\), \(\overline{\rm AD}=k\rho\sqrt{1+\lambda}+k\rho\)
\(\overline{\rm AE}=k\rho\sqrt{1+\lambda}\), \(\overline{\rm EG}=k\rho\)
\(\displaystyle\overline{\rm AG}=\frac{k\rho}{2}\left(\sqrt{1+\lambda}+\sqrt{\lambda}\right)\)
\(\displaystyle\overline{\rm GE}=\frac{k\rho}{2}\left(\sqrt{1+\lambda}-\sqrt{\lambda}\right)\)
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