X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 여섯 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변과 넓이가 제곱근 평균과 더한 변은 넓이가 제곱근 평균이 되는 변이다.
길이가 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 여섯 번째 뺀 선분 \(\overline{\rm AD}\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ACBD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)의 넓이를 갖는 정사각형 변과 넓이가 제곱근 평균과 더한 변은 넓이가 제곱근 평균이 되는 변이다.
길이가 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 여섯 번째 뺀 선분 \(\overline{\rm AD}\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ACBD\)를 작도하자. 그러면 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)의 넓이를 갖는 정사각형 변과 넓이가 제곱근 평균과 더한 변은 넓이가 제곱근 평균이 되는 변임을 보이자.
선분 \(\rm AD\)에다 선분 \(\rm DG\)를 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GD}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm GD}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GD}\)는 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 정의 III 6]
\({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이므로 선분 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \(\frac14\overline{\rm DG}\)인 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 놓으면, 선분 \(\rm AG\)는 \(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 두 선분으로 나누어진다. [X권 명제 18]
선분 \(\rm DG\)의 중점을 \(\rm E\)라 하자. 선분 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \(\overline{\rm EG}\)인 정사각형을 뺀 평형사변형을 놓자. 그것을 두 변 \(\rm AF\), \(\rm FG\)인 직사각형이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm FG}=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)이므로 [VI권 명제 1] (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
\(\overline{\rm AG}\)는 \(\overline{\rm AC}\)는 유리수이고 단 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm AC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 그리고 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm DG}\)는 유리수이고 같은 단위로 측정할 수 없으므로 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)도 제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
\(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GD}\)는 \({\overline{\rm AG}}^2\)와 \({\overline{\rm GD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GD}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 \(\overline{\rm AG}:\overline{\rm GD}=\)(직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
앞의 명제와 같은 방법으로 \(\overline{\rm LN}\)이 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)임을 보일 수 있다.
이제 \(\overline{\rm LN}\)과 제곱근 평균과 더한 길이를 변으로 하는 정사각형 넓이가 제곱근 평균이 됨을 보이자.
(직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)는 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(={\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)이므로 \({\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)은 제곱근 평균이다.
그리고 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)는 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)이므로 \(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)은 제곱근 평균이다.
그리고 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없을 보였으므로 \({\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)과 \(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
\(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그리고 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \({\overline{\rm LP}}^2\)와 \({\overline{\rm NP}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)은 제곱근 평균이고 \(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)도 제곱근 평균이며, \({\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)과 \(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 무리수이며 이 길이와 제곱근 평균을 더한 길이를 변으로 하는 정사각형 넓이가 제곱근 평균이다. [X권 명제 78] 그리고 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한 변은 넓이가 제곱근 평균과 더한 길이를 변으로하는 정사각형 넓이가 제곱근 평균이 된다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 110]에서 사용된다.