X 권
명제
정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균을 길이로 갖는 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 유리수일 수도 있고 네제곱근 평균일 수 있다.
길이가 네제곱근 평균인 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCJ\)를 만들자. 이 두 선분 \(\overline{\rm \rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이는 유리수일 수도 있고 네제곱근 평균일 수도 있다.
길이가 네제곱근 평균인 두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ABCJ\)를 만들자. 이 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러면 직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이는 유리수일 수도 있고 네제곱근 평균일 수도 있음을 보여야 한다.
선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\) 위에 각 선분을 한 변으로 하는 정사각형 \(\rm ABDI\), \(\rm BOEC\)를 그리자. 그러면 정사각형 ABDE 넓이, 정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이는 네제곱근 평균이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm FG\)를 그리자. (직사각형 \(\rm FHMG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm ABDI\) 넓이)가 되도록 선분 \(\rm FG\) 위에 직사각형 \(\rm FHMG\)를 그리자. 그러면 다른 한 변은 선분 \(\rm FH\)이다. 그리고 (직시각형 \(\rm HKNM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이)가 되도록 선분 \(\rm HM\) 위에 직사각형 \(\rm HKNM\)을 그리자. 그러면 다른 한 변은 선분 \(\rm HK\)이다. 그리고 (직사각형 \(\rm KLPN\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이)가 되도록 선분 KN 위에 직사각형 \(\rm KLPN\)을 그리자. 그러면 다른 한 변은 선분 \(\rm KL\)이 된다. 이 때 세 선분 \(\rm FH\), \(\rm HK\), \(\rm KL\)은 한 직선 위에 놓인다.
각각의 정사각형 \(\rm ABDI\) 넓이, 정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이는 네제곱근 평균이고, (정사각형 \(\rm ABDI\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FHMG\) 넓이)이고, (정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm KLPN\) 넓이)이므로 직사각형 \(\rm FHMG\) 넓이, 직사각형 \(\rm KLPN\) 넓이는 네제곱근 평균이다.
그런데 직사각형 \(\rm FHMG\), 직사각형 \(\rm KLPN\)는 모두 한 변인 길이가 유리수인 선분 \(\rm FG\)와 같다. 그러므로 \({\overline{\rm FH}}^2\), \({\overline{\rm KL}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있지만 \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm KL}\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm KL}\)은 모두 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
정사각형 \(\rm ABDI\) 넓이, 정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, 직사각형 \(\rm FHMG\) 넓이, 직사각형 \(\rm KLPN\) 넓이도 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 (직사각형 \(\rm FHMG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KLPN\) 넓이)\(=\overline{\rm FH}:\overline{\rm KL}\)이므로 [VI권 명제 1], \(\overline{\rm FH}\), \(\overline{\rm KL}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
\(\frac{\overline{\rm FH}}{\overline{\rm KL}}\)이 유리수이며 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\frac{{\overline{\rm FH}}^2}{{\overline{\rm KL}}^2}\)도 유리수이다. [X권 명제 19] 그런데 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm BA}\)이고 \(\overline{\rm OB}=\overline{\rm BC}\)이므로 \(\overline{\rm DB}:\overline{\rm BC}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm BO}\)이다. 그런데 \(\overline{\rm DB}=\overline{\rm BC}=\)(정사각형 \(\rm ABDI\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이)이고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BO}=\)(직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이)\(:\)(정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (정사각형 \(\rm ABDI\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이)\(:\)(정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이)이다.
그런데 (정사각형 \(\rm ABDI\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FHMG\) 넓이)이고 (직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HKNM\) 넓이)이며 (정사각형 \(\rm BOEC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm KLPN\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm FHMG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm HKNM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HKNM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm KLPN\) 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm FH}:\overline{\rm HK}=\overline{\rm HK}:\overline{\rm KL}\)이다. [VI권 명제 1, V권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm FH}\cdot \overline{\rm KL}={\overline{\rm HK}}^2\)이다. [VI권 명제 17]
그런데 \(\overline{\rm FH}\cdot \overline{\rm KL}\)은 유리수이므로 \({\overline{\rm HK}}^2\)은 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm HK}\)도 유리수이다. 만약 \(\overline{\rm HK}\), \(\overline{\rm FG}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다면, 직사각형 \(\rm HKNM\) 넓이는 유리수이다. [X권 명제 19] \(\overline{\rm HK}\), \(\overline{\rm FG}\)가 같은 단위로 측정할 수 없다면, \({\overline{\rm HK}}^2\), \({\overline{\rm HM}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있는 선분 길이다.
그러므로 직사각형 \(\rm HKNM\) 넓이는 네제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 그러므로 직사각형 \(\rm HKNM\) 넓이는 유리수이거나 네제곱근 평균이다. 그런데 (직사각형 \(\rm HKNM\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이)이다. 그러므로 직사각형 \(\rm ABCJ\) 넓이는 유리수이거나 네제곱근 평균이다.
그러므로 정사각형 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균을 길이로 갖는 두 선분으로 만든 직사각형 넓이는 유리수일 수도 있고 네제곱근 평균일 수 있다.
Q.E.D.
\(a\), \(b\)가 유리수이면 \(ab\)도 유리수이다. 또한 \(ab\)가 네제곱근 평균이라는 것을 증명하려면 \(\left(ab \right)^2\)은 유리수이지만 \(ab\)는 무리수임을 보여야 한다. 그러므로 \(ab\)가 유리수 이거나 네제곱근 평균이라는 것을 증명하려면 단지 \( \left(ab\right)^2\)은 유리수가 됨을 보여야 한다.
이 명제에서 \(a\), \(b\)가 네제곱근 평균이라고 하면 \(a^4\), \(b^4\)은 유리수이고 \(\frac{a^2}{b^2}\)은 유리수라고 주어진다. 그러므로 \(b^4\left(\frac{a^2}{b^2}\right)=\left(ab\right)^2\)은 역시 유리수이다.
이 명제는 이 명제 이후에서는 더 이상 사용되지 않는다.