X 권
명제
두 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분은 한 점에서만 자를 수 있다.
두 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분 \(\rm AB\)를 한 점 \(\rm C\)에서 잘라서 만들어진 두 선분의 길이 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균으로 만드는 점 \(\rm C\)는 유일하다.
두 번째 두 개의 네제곱근 평균 선분 \(\rm AB\)를 한 점 \(\rm C\)에서 잘라서 만들어진 두 선분의 길이 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이라고 하자. [X권 명제 38] 점 \(\rm C\)는 중점이 아니라는 것은 명백하다. 왜냐하면 잘려진 두 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다는 가정에 모순이다. 그러므로 선분 \(\rm AB\)는 점 \(\rm C\) 이외의 점에서 가정을 만족시키는 점이 없음을 보이자.
점 \(\rm C\)와 다른 점 \(\rm D\)가 조건을 만족한다고 하자. 그러면 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm D\)로 자르자. 그리고 \(\overline{\rm AC}\ne\overline{\rm DB}\)이며 \(\overline{\rm AC}>\overline{\rm DB}\)이라고 하자. 그러면 앞의 [보조 명제]에 의해서 \(\overline{\rm AD}^2+\overline{\rm DB}^2<\overline{\rm AC}^2+\overline{\rm CB}^2\)이다. 그리고 \(\overline{\rm AD}\), \(\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AD}}^2\), \({\overline{\rm DB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)는 네제곱근 평균이라고 하자.
\(\overline{\rm EF}\)가 유리수인 선분 \(\rm EF\)를 작도하자. (직사각형 \(\overline{\rm EFKN}\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm EFKN\)을 작도하자. 그리고 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)인 직사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm EFKN\)에서 직사각형 \(\rm EFGH\)를 뺀 직사각형 \(\rm HGKN\)은 (직사각형 \(\rm HGKN\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다. [II권 명제 4]
그리고 (직사각형 \(\rm EFLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)인 직사각형 \(\rm EFLM\)을 작도하자. (직사각형 \(\rm EFLM\) 넓이)\(<{\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)이다. [보조 명제] 이 때 (직사각형 \(\rm MLKN\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다.
그런데, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 네제곱근 평균이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)는 네제곱근 평균이다. \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이므로 \({\overline{\rm EH}}^2\), \({\overline{\rm EF}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으나 \(\overline{\rm EH}\), \(\overline{\rm EF}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
같은 이유로 \({\overline{\rm NH}}^2\), \({\overline{\rm EF}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있으나 \(\overline{\rm NH}\), \(\overline{\rm EF}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 네제곱근 평균이며, \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으니, \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CB}={\overline{\rm AC}}^2:\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 \({\overline{\rm AC}}^2\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있기 때문이다. [X권 명제 15]
그리고 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 \(\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)과 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그런대 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다. 그리고 (직사각형 \(\rm HGKN\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm HGKN\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] 그러므로 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HN}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그리고 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HN}\)는 \({\overline{\rm EH}}^2\), \({\overline{\rm HN}}\)만 같은 단위로 측정할 수 있다. 두 길이는 같은 단위로 측정할 수 없고 그 두 길이를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이만을 같은 단위로 측정할 수 있는 그 두 길이의 합은 무리수이며 이항 선분이다. [X권 명제 36] 그러므로 \(\overline{\rm EN}\)은 이항 선분이고 점 \(\rm H\)에서 자를 수 있다.
같은 방법으로 \(\overline{\rm EM}\), \(\overline{\rm MN}\)도 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm EM}}^2\), \({\overline{\rm MN}}^2\) 만은 같은 단위로 측정 할 수 있음을 알 수 있다. 따라서 이항 선분 \(\rm EN\)을 서로 다른 두 점 \(\rm H\), \(\rm M\)에서 잘랐다. 그리고 \(\overline{\rm EH}\ne\overline{\rm MN}\)이다. 왜냐하면 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2>{\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2\)이고, \({\overline{\rm AD}}^2+{\overline{\rm DB}}^2>2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2>2\cdot\overline{\rm AD}\cdot\overline{\rm DB}\)이다.
그러므로 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이) \(>\)(직사각형 \(\rm MLKN\) 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm EH}>\overline{\rm MN}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm EH}\ne\overline{\rm MN}\)이다. 그러나 이항 선분은 한 점에서만 자를 수 있으니 [X권 명제 42] 이것은 모순이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 더 이상 사용되지 않는다.