X 권
명제
큰 선분을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같게 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 작도하자. 그러면 이 직사각형의 나머지 한 변의 길이는 네 번째 이항 선분이다.
큰 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 유리수 길이인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 선분 \(\rm DG\)는 네 번째 이항 선분이다.
큰 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 유리수 길이인 선분 \(\rm DE\)를 한 변으로 하고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 선분 \(\rm DG\)는 네 번째 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제와 같이 도형들을 작도하자. 큰 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 잘랐으니 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)로 나누어지고 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 유리수이며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 39]
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 유리수이므로, (직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm DM}\)은 유리수이며 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
(직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 제곱근 평균인데 \(\overline{\rm ML}\)이 유리수이므로 \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
그러므로 \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 그러므로 \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)은 유리수이며 단 \({\overline{\rm DM}}^2\)과 \({\overline{\rm MG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
다음으로 \(\overline{\rm DG}\)가 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제와 같이 \(\overline{\rm DM} > \overline{\rm MG}\)임을 알 수 있다. 그리고 \(\overline{\rm DK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm MN}}^2\)이다. \({\overline{\rm AC}}^2\)와 \({\overline{\rm CB}}^2\)를 같은 단위로 측정할 수 없으므로 (직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
길이가 다른 선분이 있다. 긴 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형을 놓여있고 그 평행사변형의 넓이가 작은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 \(\frac14\)이라 하자. 이 평행사변형이 긴 선분을 둘로 나누었는데 두 선분의 길이가 같은 단위로 측정할 수 없으면, 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이는 긴 선분이 한 변인 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 합과 같다. [X권 명제 18]
\({\overline{\rm DM}}^2\)은 \({\overline{\rm MG}}^2\)와 \(\overline{\rm DM}\)과 같은 단위로 측정할 수 없는 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다. 그리고 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\) 모두 유리수이며, 단, \({\overline{\rm DM}}^2\), \({\overline{\rm MG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(\overline{\rm DM}\)은 유리수 \(\overline{\rm DE}\)과 같은 단위로 측정 할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 네 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 4]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72]에서 사용된다.
대수적 표현으로는 다음과 같다. \(k\)는 정수, \(\rho\)는 정수, \(\sigma\)는 유리수이다.
\(\displaystyle\overline{\rm AB}=\frac{\rho}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{k}{1+k^2}}+\frac{\rho}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{k}{1+k^2}}\),
\(\displaystyle\overline{\rm AC}=\frac{\rho}{\sqrt{2}}\sqrt{1+\frac{k}{1+k^2}}\), \(\displaystyle\overline{\rm CB}=\frac{\rho}{\sqrt{2}}\sqrt{1-\frac{k}{1+k^2}}\)
\(\displaystyle\overline{\rm /DG}=\frac{\rho^2}{\sigma}\left(1+\frac{1}{1+k^2}\right)\)
\(\displaystyle\overline{\rm DK}=\frac{\rho}{2\sigma}\left(1+\frac{1}{1+k^2}\right)\), \(\displaystyle\overline{\rm KM}=\frac{\rho}{2\sigma}\left(1-\frac{1}{1+k^2}\right)\), \(\displaystyle\overline{\rm MN}=\overline{\rm NG}=\frac{\rho^2}{2\sigma}\frac{1}{\sqrt{1+k^2}}\)