X 권
명제
명제 108
넓이가 유리수에서 제곱근 평균을 뺀 것인 정사각형의 변의 길이는 두 종류의 무리수인 뺀 선분이거나 짧은 선분이다.
유리수 (직사각형 \(\rm ACIB\) 넓이)에서 무리수 (직사각형 \(\rm EDIB\) 넓이)을 뺀 (직사각형 \(\rm ACDE\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 무리수로 뺀 선분 또는 짧은 선분이다.
X 권
명제
넓이가 유리수에서 제곱근 평균을 뺀 것인 정사각형의 변의 길이는 두 종류의 무리수인 뺀 선분이거나 짧은 선분이다.
유리수 (직사각형 \(\rm ACIB\) 넓이)에서 무리수 (직사각형 \(\rm EDIB\) 넓이)을 뺀 (직사각형 \(\rm ACDE\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 무리수로 뺀 선분 또는 짧은 선분이다.
유리수 (직사각형 \(\rm ACIB\) 넓이)에서 무리수 (직사각형 \(\rm EDIB\) 넓이)을 뺀 (직사각형 \(\rm ACDE\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 무리수로 뺀 선분 또는 짧은 선분임을 보이자.
유리수 \(\overline{\rm FG}\)가 되도록 선분 \(\overline{\rm FG}\)를 잡자. (직사각형 \(\rm GFHJ\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ACIB\) 넓이)이고 한 변의 길이가 \(\overline{\rm FG}\)인 직사각형 \(\rm GFHJ\)를 작도하자. 그리고 직사각형 \(\rm GFHJ\)에서 (직사각형 \(\rm GFKL\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm BIDE\) 넓이)인 직사각형 \(\rm GFKL\)을 빼서 남은 직사각형 \(\rm EDCA\)는 (직사각형 \(\rm EDCA\) 넓이\(=\)(직사각형 \(\rm LKHJ\) 넓이)이다.
(직사각형 \(\rm BICA\) 넓이)는 유리수이고, (직사각형 \(\rm BIDE\) 넓이)는 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm BICA\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm GFHJ\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm BIDE\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm GFKL\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm GFHJ\) 넓이)는 유리수이고, (직사각형 \(\rm GFKL\) 넓이)는 제곱근 평균이다. 이 두 직사각형의 한 변의 길이가 유리수 \(\overline{\rm FG}\)이므로 나머지 한 변의 길이 \(\overline{\rm FH}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있고 [X권 명제 20] 또 나머지 한 변의 길이 \(\overline{\rm FK}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22] 그러므로 \(\overline{\rm FH}\)와 \(\overline{\rm FK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 \(\overline{\rm FH}\)와 \(\overline{\rm FK}\)은 유리수이며 단 \({\overline{\rm FH}}^2\)와 \({\overline{\rm FK}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KH}\)는 뺀 선분이며 [X권 명제 73] 일직선이 되도록 선분 \(\rm KF\)를 이었다.
\({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이거나 \({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다.
\({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이라 하자.
그러면 \(\overline{\rm HF}\)는 유리수 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm KH}\)는 첫 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 1] 그런데 길이가 유리수 선분과 첫 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형과 넓이가 같은 정사각형의 변은 뺀 선분이다. [X권 명제 92] 그러므로 (직사각형 \(\rm LKHJ\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 즉, (직사각형 \(\rm EDCA\) 넓이)와 넓이가 같은 정사각형의 변은 뺀 선분이다.
그러나 \({\overline{\rm HF}}^2={\overline{\rm FK}}^2+\)(\(\overline{\rm HF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이면, \(\overline{\rm HF}\)는 유리수 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm KH}\)는 네 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 4]
그런데 길이가 유리수인 선분과 네 번째 뺀 선분이 두 변인 직사각형 넓이와 같은 정사각형 변의 길이는 짧은 선분이다. [X권 명제 94]
Q.E.D.
이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.