X 권
명제
길이를 제곱해서 유리수인 길이를 더하면 제곱근 평균이 되는 선분으로 정사각형을 작도하자. 넓이가 이 정사각형 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 나머지 한 변은 다섯 번째 뺀 선분이다.
길이를 제곱해서 유리수인 길이를 더하면 제곱근 평균이 되는 선분 \(\rm AB\)와 유리수 \(\overline{\rm CD}\)가 있다. (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이고 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)의 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 다섯 번째 뺀 선분이다.
길이를 제곱해서 유리수인 길이를 더하면 제곱근 평균이 되는 선분 \(\rm AB\)와 유리수 \(\overline{\rm CD}\)가 있다. (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이고 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDEF\)의 나머지 한 변 \(\rm CF\)는 다섯 번째 뺀 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AB\)와 일직선이 되도록 선분 \(\rm BG\)를 긋자. \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GB}\)는 \({\overline{\rm AG}}^2\)와 \({\overline{\rm GB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)은 제곱근 평균이며, \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)는 유리수이다. [X권 명제 72]
(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\)이고 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDHK\)를 작도하자. 그러면 나머지 한 변은 \(\rm CK\)이다. 그리고 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(={\overline{\rm BG}}^2\)인 직사각형 \(\rm KHLM\)을 작도하면 나머지 한 변은 \(\rm KM\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이다.
\({\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)는 제곱근 평균이므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)도 제곱근 평균이다. \(\overline{\rm CD}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm CM}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
(직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2+{\overline{\rm GB}}^2\)이고 (직사각형 \(\rm CDEF\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\)이므로 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)이다. [II권 명제 7]
선분 \(\rm FM\)의 중점을 \(\rm N\)이라 하자. 선분 \(\rm CD\)에 평행하게 선분 \(\rm NO\)를 긋자. 그러면 (직사각형 \(\rm FEON\) 넓이)\(={\overline{\rm AG}}^2\), (직사각형 \(\rm NOLM\) 넓이)\(={\overline{\rm GB}}^2\)이다. 그런데 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}\)가 유리수이며 \(2\cdot\overline{\rm AG}\cdot\overline{\rm GB}=\)(직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)는 제곱근 평균이다. 직사각형 \(\overline{\rm FE}\)는 유리수이므로 나머지 한 변 \(\overline{\rm FM}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 20]
(직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)은 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)은 유리수이므로 (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)과 (직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다. (직사각형 \(\rm CDLM\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FELM\) 넓이)\(=\overline{\rm CM}:\overline{\rm FM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
\(\overline{\rm CM}\)과 \(\overline{\rm FM}\)은 모두 유리수이다. 또한 단 \({\overline{\rm CM}}^2\)과 \({\overline{\rm FM}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\rm CF\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
선분 \(\rm CF\)가 다섯 번째 뺀 선분임을 보이자.
앞에서와 같은 방법으로 \(\overline{\rm CK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm NM}}^2\frac14\cdot{\overline{\rm FM}}^2\)임을 보일 수 있다. 그리고 \({\overline{\rm AG}}^2\)와 \({\overline{\rm GB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AG}}^2=\)(직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\)이고, \({\overline{\rm GB}}^2=\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\)와 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 (직사각형 \(\rm CDHK\) 넓이)\)\(:\)(직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(=\overline{\rm CK}:\overline{\rm KM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm CK}\), \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그러므로 \(\overline{\rm CM}\), \(\overline{\rm MF}\)는 \(\overline{\rm CM}\ne\overline{\rm MF}\)이고, 넓이가 \(\frac14{\overline{\rm FM}}^2\)이며 정사각형을 뺀 모양이고 한 변인 \(\rm CM\)인 평행사변을 작도하면 \(\overline{\rm CM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없는 두 선분으로 나누어진다.
그러면 \({\overline{\rm CM}}^2={\overline{\rm MF}}^2+\)(\(\overline{\rm CM}\)과 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 18] 그리고 \(\overline{\rm FM}\)은 유리수 \(\overline{\rm CD}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)는 다섯 번째 뺀 선분이다. [X권 정의 III 6]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 111]에서 사용된다.