X 권
명제
두 번째 네제곱근 평균으로 만든 정사각형 넓이와 같은 한 변의 길이가 유리수인 직사각형을 작도하자. 그러면 직사각형의 나머지 한 변은 세 번째 이항 선분이다.
길이가 두 번째 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 \(\overline{\rm DE}\)가 한 변이고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 나머지 한 변 \(\rm DG\)는 세 번째 이항 선분이다.
길이가 두 번째 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되도록 자르자. 길이가 유리수인 \(\overline{\rm DE}\)가 한 변이고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 직사각형 \(\rm DEFG\)의 나머지 한 변 \(\rm DG\)는 세 번째 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제에서와 같이 도형들을 작도하자. 길이가 두 번째 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 잘랐으므로, \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 제곱근 평균이며, 단 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)은 제곱근 평균이다. [X권 명제 38] 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 제곱근 평균이다. [X권 명제 15, 24 따름명제]
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2=\)(직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)은 제곱근 평균이다. 직사각형 \(\rm DELM\)의 한 변의 길이 \(\rm DE\)가 유리수이므로, \(\overline{\rm DM}\)은 유리수이며 \(\rm DE\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
같은 이유로 \(\overline{\rm MG}\)도 유리수이며, \(\overline{\rm ML}\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. 즉, \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 \(\overline{\rm AC}\)와 \(\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, \(\overline{\rm AC}:\overline{\rm CB}={\overline{\rm AC}}^2:\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이므로 \({\overline{\rm AC}}^2\)과 \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)과 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 12, 13] 즉, (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11] \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)은 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
다음으로 \(\overline{\rm DG}\)가 세 번째 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제에서와 같이 \(\overline{\rm DM}>\overline{\rm MG}\)임을 알 수 있다. 그리고 \(\overline{\rm DK}\)와 \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다.
\(\overline{\rm DK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm MN}}^2\)이다. 따라서 \({\overline{\rm DM}}^2\)은 \({\overline{\rm MG}}^2\)와 \(\overline{\rm DM}\)과 같은 단위로 측정할 수 있는 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다. 그리고 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\) 모두 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 세 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 3]
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72]에서 사용된다.
대수적 표현으로는 다음과 같다. \(k\)는 정수, \(\rho\)는 정수, \(\sigma\), \(\lambda\)는 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}=\rho\sqrt[4]{k}+\rho\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt[4]{k}}\), \(\overline{\rm AC}=\rho\sqrt[4]{k}\), \(\overline{\rm CB}=\rho\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt[4]{k}}\)
\(\overline{\rm DE}=\sigma\)
\(\overline{\rm DG}=\frac{1}{\sigma}\left(\rho\sqrt[4]{k}+\rho\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt[4]{k}}\right)^2=\frac{\rho^2}{\sigma}\left(\frac{k}{\sqrt{k}}+\frac{\lambda}{\sqrt{k}}+2\cdot\sqrt{\lambda}\right)\)
\(\overline{\rm DK}=\frac{\rho^2}{\sigma}\cdot\frac{k}{\sqrt{k}}\), \(\overline{\rm KM}=\frac{\rho^2}{\sigma}\cdot\frac{\lambda}{\sqrt{k}}\), \(\overline{\rm MN}=\overline{\rm NG}=\frac{\rho^2}{\sigma}\cdot\sqrt{\lambda}\)