X 권
명제
명제 94
길이기 유리수인 선분과 네 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형 한 변의 길이는 짧은 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 네 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ACBD\)를 작도하자. (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 넓이가 같은 정사각형 변의 길이는 짧은 선분이다.
X 권
명제
길이기 유리수인 선분과 네 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형 한 변의 길이는 짧은 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 네 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ACBD\)를 작도하자. (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 넓이가 같은 정사각형 변의 길이는 짧은 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 네 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm ACBD\)를 작도하자. (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 넓이가 같은 정사각형 변의 길이는 짧은 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AD\)에 선분 \(\rm DG\)를 이어 붙이자. \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GD}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm GD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AG}\)는 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm AG}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 정의 III 4]
\({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 변을 갖는 정사각형 넓이)이므로 선분 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \(\frac14{\overline{\rm GD}}^2\)이며 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 놓으면 \(\overline{\rm AG}\)를 같이 단위로 측정할 수 없는 두 선분으로 나눌 수 있다. [X권 명제 18]
\(\rm GD\)의 중점을 \(\rm E\)라 하자. 선분 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm EG}}^2\)이고 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 놓고, 그 도형을 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)을 두 변으로 하는 직사각형이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\)에서 선분 \(\rm AC\)에 각각 평행한 선분 \(\rm EH\), \(\rm FI\), \(\rm GK\)를 그리자.
\(\overline{\rm AG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)는 유리수이다. [X권 명제 19] 그리고 \(\overline{\rm DG}\), \(\overline{\rm AC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없고, 모두 유리수이므로 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 두 선분 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없으므로 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)인 정사각형 \(\rm LRMP\)를 작도하자. 정사각형 \(\rm LRMP\)에서 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)인 정사각형 \(\rm NQOP\)을 빼자. 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm NQOP\)는 \(\rm\angle LPM=90^\circ\)을 공통으로 가지고 있다. 그러므로 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm NQOP\)의 공통의 대각선을 갖는다. [VI권 명제 26]
이 대각선을 \(\rm PR\)이라 하자. 그리고 그림처럼 작도하자.
\(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FG}={\overline{\rm EG}}^2\)이므로 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}\)이다. [VI권 명제 17] 그런데 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이고, \()\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)는 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)의 비례중항이다. [V권 명제 11]
그런데 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)는 (정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)의 비례 중항이며 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이고 (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm LSQTMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm LSQTMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm SRTQ\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 넓이가 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 같은 정사각형 변이다.
다음으로 \(\overline{\rm LN}\)이 짧은 선분임을 보이자.
(직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)는 유리수이고 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)이므로 \({\overline{\rm LN}}^2+{\overline{\rm NP}}^2\)은 유리수이다.
그리고 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)는 제곱근 평균이고 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)이므로 \(2\cdot\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)은 제곱근 평균이다.
그리고 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없음을 보였다. 그러므로 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm PN}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm PN}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm LP}}^2+{\overline{\rm PN}}^2\)은 유리수이며 \(\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm PN}\)은 제곱근 평균이다. 그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 짧은 선분이다. [X권 명제 76] 그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)와 같은 정사각형의 변이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 108]에서 사용된다. 또한 [XIII권 명제 11]에서 사용된다.