X 권
명제
길이가 첫 번째 네제곱근 평균을 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 다른 한 변은 두 번째 이항 성분이다.
길이가 첫 번째 제곱근인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 잘라 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)를 만족한다. 주어진 유리수 \(\overline{\rm DE}\)에 대하여, 선분 \(\rm DG\)는 \({\overline{\rm AB}}^2=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}\)를 만족한다. 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm DG\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm DG}\)가 이항 선분이다.
길이가 첫 번째 제곱근인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 잘라 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)를 만족한다. 주어진 유리수 \(\overline{\rm DE}\)에 대하여, 선분 \(\rm DG\)는 \({\overline{\rm AB}}^2=\overline{\rm DE}\cdot\overline{\rm DG}\)를 만족한다. 두 선분 \(\rm DE\), \(\rm DG\)를 두 변으로 하는 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm DG}\)가 이항 선분임을 보이자.
앞의 명제와 같이 도형들을 그리자. 길이가 첫 번째 네제곱근 평균인 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)가 되게 점 \(\rm C\)를 잘랐다. 따라서 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 제곱근 평균이며, 단\({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수이다. [X권 명제 37]
그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 그러므로 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 15, 23 따름 명제] \(\overline{\rm DE}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm DM}\)도 유리수이고, \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm DM}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
\(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 유리수이므로 (직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)는 유리수이다. \(\overline{\rm ML}\)이 유리수이므로 \(\overline{\rm MG}\)도 유리수이고, \(\overline{\rm MG}\)는 \(\overline{\rm ML}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20] 즉, \(\overline{\rm MG}\)는 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그리고 \(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm DM}}^2\), \({\overline{\rm MG}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
다음으로 \(\overline{\rm DG}\)가 두 번째 이항 선분임을 보이자.
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2 > 2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이므로 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)\(>\)(직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm DM} > \overline{\rm MG}\)이다. [VI권 명제 1]
그리고 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이), (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
그리고 \(\overline{\rm DK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm MN}}^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm DM}}^2\)은 \({\overline{\rm MG}}^2\)과 \(\overline{\rm DM}\)과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다. [X권 명제 17] 그리고 \(\overline{\rm MG}\)는 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 두 번째 이항 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72]에서 사용된다.
이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.
\(k\)는 정수, \(\rho\)는 정수이고 \(\sigma\)는 유리수라 하자.
\(\overline{\rm AC}=\rho\sqrt[4]{k^3}\), \(\overline{\rm CB}=\rho\sqrt[4]{k}\)
\(\displaystyle\overline{\rm DK}=\frac{\rho^2}{\sigma}k\sqrt{k}\), \(\displaystyle\overline{\rm KM}=\frac{\rho^2}{\sigma}\sqrt{k}\), \(\displaystyle\overline{\rm MN}=\overline{\rm NG}=\frac{\rho^2}{\sigma}k\)