애플릿

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증명

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길이가 유리수 \(\a)인 선분에 대하여, \(\overline{\rm BG}\)가 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm BG}\)는 유리수이다.

두 수 \(\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm FE}\)는 두 수를 더한 \(\overline{\rm DE}\)는 두 수 \(\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm FE}\) 어느 것의 비율이 제곱수와 제곱수의 비율이 아니라 하자. 또한 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)를 만족한다. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \({\overline{\rm BG}}^2\)와 \({\overline{\rm GC}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]

그런데 \({\overline{\rm BG}}^2\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm GC}}^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm GC}\)는 유리수이다.

\(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}\)는 제곱수와 제곱수의 비율이 아니므로 \({\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)는 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그리고 \(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)은 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)와 \(\overline{\rm GC}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm BG}}^2\)와 \({\overline{\rm GC}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]

\({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+h^2\)을 만족하는 길이가 \(h\)인 선분을 그리자. \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\)이므로 전자와 뺀 것과의 비례식에 의해서 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm DF}={\overline{\rm BG}}^2:h^2\)이다.

그런데 \(\overline{\rm DE}:\overline{\rm DF}\)는 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \({\overline{\rm GB}}^2:h^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm BG}\)와 \(h\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

\({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+h^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm BG}}^2={\overline{\rm GC}}^2+\)(\(\overline{\rm BG}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분의 길이를 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. 그리고 \(\overline{\rm BG}\)는 주어진 유리수 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.

그러므로 \(\overline{\rm BC}\)는 네 번째 밴 선분이다. [X권 정의 III 4]

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.

\(\rho\)는 유리수, \(k\)는 자연수 그리고 두 자연수 \(m\), \(n\)은 \((m+n):m\)과 \((m+n):n\) 모두 제곱수와 제곱수 비율이 아니다.

\(a=\rho\), \(\overline{\rm BG}=ka\), \(\overline{\rm DF}=m\), \(\overline{\rm FE}=n\)

\(\overline{\rm DE}:\overline{\rm EF}={\overline{\rm BG}}^2:{\overline{\rm GC}}^2\) 즉, \((m+n):n=k^2\rho^2:x^2\)을 만족한다.

\(x=\frac{k\rho}{\sqrt{1+\frac{1}{\lambda}}}\) (단, \(\lambda=\frac mn\))

네 번째 뺀 선분 \(\overline{\rm BC}=k\rho-x=k\rho-\frac{k\rho}{\sqrt{1+\lambda}}\)

네 번째 뺀 선분 \(k\rho-x\)는 이차방정식 \(x^2-2k\rho x+\frac{\lambda}{1+\lambda}k^2\rho^2=0\)의 두 근 중 작은 근이다.