애플릿

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증명

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뺀 선분 \(\rm AB\)와 이항 선분 \(\rm CD\)에 대하하여, \(\overline{\rm CE}\)는 \(\overline{\rm CD}\)의 항 중 긴 선분이며, 이항 선분의 항 \(\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 뺀 선분의 항 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며 비율이 같다고 하자. \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm CD}=g^2\)라 하자. 그러면 \(g^2\)는 유리수임을 보이자.

길이가 유리수 \(h\)인 선분이 있다. \(h^2=\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm KL}\)이고 한 변이 \(\rm CD\)인 직사각형 \(\rm CDKL\)의 나머지 한 변은 \(\rm KL\)이다. 그러면 \(\rm KL\)은 뺀 선분이다. \(\rm KL\)의 항 \(\overline{\rm KM}\), \(\overline{\rm ML}\)은 이항 선분 \(\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm ED}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며 비율은 같다. [X권 명제 112]

그런데 \(\overline{\rm CE}\), \(\overline{\rm ED}\)는 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으며 비율이 같다. 그러므로 \(\overline{\rm Af}:\overline{\rm FB}=\overline{\rm KM}:\overline{\rm ML}\)이다. 그러므로 바꾼 비례식에 따라서 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm KM}=\overline{\rm BF}:\overline{\rm LM}\)이다. 그러므로 나머지 변은 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm KL}=\overline{\rm AF}:\overline{\rm KM}\)이다. [V권 명제 19]

그런데 \(\overline{\rm AF}\)와 \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm KL}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm KL}=\left(\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm AB}\right):\left(\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm KL}\right)\) 같으니 [VI권 명제 1], \(\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm KL}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]

그런데 \(\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm KL}=h^2\)이므로 \(\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm AB}\)는 \(h^2\)과 같은 단위로 측정할 수 있다. 그런데 \(g^2=\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm AB}\)이므로 \(g^2=h^2\)이다. 그러므로 \(g^2\)과 \(h^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다.

그런데 \(h^2\)은 유리수이다. 그러므로 \(g^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(g\)는 유리수이다. 이것은 \(g\)는 넓이가 \(\overline{\rm CD}\cdot\overline{\rm AB}\)인 정삭가형 변의 길이이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.