X 권
명제
명제 92
길이가 유리수인 선분과 두 번째 뺀 선분을 두 변인 직사각형 넓이와 같은 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)인 선분과 두 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)가 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이와 같은 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다.
X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 두 번째 뺀 선분을 두 변인 직사각형 넓이와 같은 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)인 선분과 두 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)가 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이와 같은 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)인 선분과 두 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)가 두 변인 직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이와 같은 정사각형 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분임을 보이자.
선분 \(\rm AD\)에 선분 \(\rm DG\)를 붙이자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\), \(\overline{\rm GD}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm DG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 73] \(\overline{\rm DG}\)는 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. [X권 정의 III 2]
\(\overline{\rm DG}\)는 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm GD}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이므로 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \(\frac14 {\overline{\rm GD}}^2\)이고 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 작도하면, \(\overline{\rm AG}\)와 같이 단위로 측정할 수 있는 두 선분으로 나누어진다. [X권 명제 17]
선분 \(\rm DG\)의 중점을 \(\rm E\)라 하자. 선분 \(\rm AG\) 위에 넓이가 \({\overline{\rm EG}}^2\)이고 정사각형을 뺀 모양의 평행사변형을 작도하자. 그 평행사변형을 두 변이 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)인 직사각형이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러면 \(\overline{\rm AG}\)도 \(\overline{\rm AF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15]
그런데 \(\overline{\rm AG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm AF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)도 모두 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13] 그러므로 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
\(\overline{\rm DE}\)와 \(\overline{\rm EG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm DF}\)도 \(\overline{\rm DE}\)와 \(\overline{\rm EG}\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm DG}\)는 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이), (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)는 유리수이다. [X권 명제 19]
(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)가 되도록 정사각형 \(\rm LRMP\)를 작도하자. 또한 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)가 되도록 정사각형 \(\rm NQOP\)를 정사각형 \(\rm LRMP\)에서 빼자. 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm NQOP\)은 \(\rm\angle LPM=90^\circ\)를 공유하고 있다. 그러므로 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm NQOP\)은 같은 대각선을 가진다. [VI권 명제 26]
이 대각선을 \(\rm PR\)이라 하자. 그림처럼 도형을 작도하자.
(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)는 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(={\overline{\rm LP}}^2\), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(={\overline{\rm NP}}^2\)이므로 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\) 모두 제곱근 평균이다. 따라서 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 제곱근 평균이며 단 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다.
그리고 \(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FG}={\overline{\rm EG}}^2\)이므로 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}\)이다. [VI권 명제 17] 그런데 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이고 \(\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)이므로 [VI권 명제 1] (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(^2=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(\cdot\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)는 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)의 비례 중항이다 [V권 명제 11]
그런데 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)는 (정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이), (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)의 비례 중항이므로 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)\(^2=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(\cdot\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm LSQTMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. 그리고 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm LSQTMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm SRTQ\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm SRTQ\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm LN}}^2=\)(직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 정사각형 \(\rm ACBD\)의 변이다.
이제 \(\overline{\rm LN}\)이 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분임을 보이자.
(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)는 유리수이고 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)\(=\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)는 유리수이다.
이제 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)가 제곱근 평균임을 보였다. 그러므로 (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)와 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)\(:\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(=\overline{\rm LP}:\overline{\rm NP}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm LP}\)와 \(\overline{\rm NP}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그러므로 \(\overline{\rm LP}\)와 \(\overline{\rm NP}\)는 제곱근 평균이며 단 \({\overline{\rm LP}}^2\)와 \({\overline{\rm NP}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm LP}\cdot\overline{\rm NP}\)는 유리수이다.
그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다. [X권 명제 74] 그리고 \(\overline{\rm LN}\)은 넓이가 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)과 같은 정사각형의 변이다. 그러므로 넓이가 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)과 같은 정사각형의 변은 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 109]에서 사용된다.