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증명
\(\overline{\rm BC}>a\)인 두 선분 \(a\), \(\rm BC\)가 있다.
선분 \(\rm BC\) 위에 정사각형을 뺀 어떤 평행사변형을 작도하였고, 그 평행사변형은 (평행사변형의
넓이)\(=\frac{a^2}4=\left(\frac a2\right)^2\)이라 하자. 그 평행사변형은 두 변이 \(\rm BD\), \(\rm DC\)인 직사각형이고,
(평행사변형 넓이)\(=\overline{\rm BD}\cdot \overline{\rm DC}\)이다. [X권 명제 17 보조법칙] 그리고 \(\overline{\rm BD}\),
\(\overline{\rm DC}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다고 하자.
그러면 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)이 한 변인 어떤 정사각형 넓이)임을 보여야 한다.
앞의 명제에서와 같이 작도하자. \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)이 한 변인 어떤 정사각형 넓이)임을 보일
수 있다.
이제 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DF}\)가 같은 단위로 측정할 수 없음을 보이자.
\(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)를 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)도
같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]
그런데 \(\overline{\rm DC}\)과 \(\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6]
그러므로 \(\overline{\rm BC}\)과 \(\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
\(\overline{\rm FD}=\overline{\rm BC}-\left(\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\right)\)이므로 \(\overline{\rm BC}\),
\(\overline{\rm FD}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]
따라서 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+{\overline{\rm FD}}^2\)이다.
그러므로 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)이 한 변인 어떤 정사각형 넓이)이다.
또한 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+\)(\(\overline{\rm BC}\)이 한 변인 어떤 정사각형 넓이)이라고 하자. 정삭각형을 뺀 어떤
평행사변형을 선분 \(\rm BC\) 위에 놓여있고, 그 평행사변형은 두 변이 \(\rm BD\), \(\rm DC\)인 직사각형이고, (평행사변형
넓이)\(=\overline{\rm BD}\cdot \overline{\rm DC}\)이라 하자.
그러면 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없음을 보여야 한다.
같은 방법으로 작도하자. 그러면 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+{\overline{\rm FD}}^2\)임을 보일 수 있다.
그런데 \({\overline{\rm BC}}^2=a^2+{\overline{\rm FD}}^2\)이므로 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm FD}\)는 같은 단위로
측정할 수 없다. \(\overline{\rm BC}-\overline{\rm FD}=\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\)이므로, \(\overline{\rm BC}\)와
\(\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]
\(\overline{\rm BF}+\overline{\rm DC}\)는 \(\overline{\rm DC}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 6]
그러므로 \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 비례식 빼기에 의해서 \(\overline{\rm BD}\), \(\overline{\rm DC}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]
그러므로 길이가 다른 선분이 있다.
긴 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형을 놓여있고 그 평행사변형의 넓이가 작은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 \(\frac 14\)이라
하자. 이 평행사변형이 긴 선분을 둘로 나누었는데 두 선분의 길이가 같은 단위로 측정할 수 없으면, 긴 선분이 한 변인 정사각형
넓이는 긴 선분이 한 변인 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 합과 같다.
역으로 긴 선분 위에 정사각형을 뺀 평행사변형이 놓여있고 그 평행사변형의 넓이가 작은 선분이 한 변인 정사각형 넓이의 \(\frac
14\)이라 하자. 긴 선분이 한 변인 정사각형 넓이가 짧은 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 긴 선분의 길이와 같은 단위로 측정할 수
없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이와 같으면, 이 평행사변형은 긴 선분을 나누는데 두 선분의 길이는 같은 단위로 측정할 수 없다.
Q.E.D.
