X 권
명제
유리수와 제곱근 평균의 합이 넓이인 정사각형을 작도하자. 그러면 네 가지의 무리수인 선분들을 만들 수 있다. 즉, 이항 선분, 첫 번째 두 개의 제곱근 평균 선분, 큰 선분, 유리수와 제곱근 평균을 더한 길이인 선분이다.
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)가 유리수이고, (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)가 제곱근 평균이라 하자. 그러면 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 정사각형의 변의 길이는 이항선분, 첫 번째 두 개의 제곱근 평균 선분, 큰 선분, 유리수 넓이와 제곱근 평균의 합이 길이인 선분이 될 수 있다.
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)가 유리수이고, (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)가 제곱근 평균이라 하자. 그러면 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 정사각형의 변의 길이는 이항선분, 첫 번째 두 개의 제곱근 평균 선분, 큰 선분, 유리수 넓이와 제곱근 평균의 합이 길이인 선분이 될 수 있음을 보이자.
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)는 (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이) \(>\) (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)이거나 (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이) \(<\) (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)이다.
1) (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이) \(>\) (직사각형\(\rm CBDL\) 넓이)이라 하자.
유리수인 \(\overline{\rm EF}\)가 선분 \(\rm EF\)를 작도하자. 선분 \(\rm EF\) 위에 (직시각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(=\)(직사가형 \(\rm AJBC\) 넓이)가 되도록 직사각형 \(\rm EFGH\)를 작도하자. 그러면 기로 길이 \(\overline{\rm EH}\)가 생긴다. 그리고 (직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)가 되도록 직사가형 \(\rm HGIK\)를 작도하자. 그러면 가로 길이 \(\overline{\rm HK}\)가 생긴다.
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)는 유리수이고 (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)도 유리수이다. 그리고 \(\overline{\rm EF}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm EH}\)도 유리수이며, \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm EH}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
그리고 (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)는 제곱근 평균이며 (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)도 제곱근 평균이다. \(\overline{\rm EF}\)가 유리수이므로 \(\overline{\rm HK}\)도 유리수이며, \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm HK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
(직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)는 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)는 유리수이므로, (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)도 같은 단위로 측정할 수 없다. 그런데 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)\(=\)\(\overline{\rm EH}:\overline{\rm HK}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HK}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그런데 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HK}\) 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm EH}\)와 \(\overline{\rm HK}\)는 유리수이며 단지 \({\overline{\rm EH}}^2\)와 \({\overline{\rm HK}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EK}\)는 이항 선분이며 점 \(\rm H\)는 선분 \(\rm EK\)를 자른다. [X권 명제 36]
(직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이) \(>\) (직사각형\(\rm CBDL\) 넓이)이라 가정하였다. (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm CBDL\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(>\)(직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm EH}>\overline{\rm HK}\)이다
그러므로 \({\overline{\rm EH}}^2>{\overline{\rm HK}}^2\)이고, \({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이) 또는 \({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이)가 된다.
① \({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 한 변인 정사각형 넓이)라 하자.
긴 선분 \(\overline{\rm EH}\)는 유리수 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm EK}\)는 첫 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 1]
그런데 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이므로 길이가 유리수인 서분과 첫 번째 이항 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 정사각형의 변은 이항 선분이다. [X권 명제 54] 그러므로 (직사각형 \(\rm EFIK\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변은 이항 선분이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)과 같은 정사각형의 변은 이항 선분이다.
② \({\overline{\rm EH}}^2={\overline{\rm HK}}^2+\)(\(\overline{\rm EH}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 한 변인 정사각형 넓이)라 하자.
긴 선분 \(\overline{\rm EH}\)가 유리수 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm EK}\)는 네 번째 이항 선분이다. [X권 정의 II 4]
그런데 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다. 길이가 유리수인 선분과 네 번째 이상 선분이 두 변인 직사각형 넓이와 같은 정사각형 한 변의 길이는 무리수이며 큰 선분이라 한다. [X권 명제 57]
그러므로 (직사각형 \(\rm EFIK\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변은 큰 선분이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)과 같은 넓이를 갖는 정사각형 변은 큰 선분이다.
2) (직사각형 \(\rm AJBC\) 넓이) \(<\) (직사각형\(\rm CBDL\) 넓이)이라 하자.
그러면 (직사각형 \(\rm EFGH\) 넓이)\(<\)(직사각형 \(\rm HGIK\) 넓이)이며 \(\overline{\rm EH}<\overline{\rm HK}\)이다.
그러므로 \({\overline{\rm HK}}^2 > {\overline{\rm EH}}^2\)이고 \({\overline{\rm HK}}^2={\overline{\rm EH}}^2+\)(\(\overline{\rm HK}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이거나 \({\overline{\rm HK}}^2={\overline{\rm EH}}^2+\)(\(\overline{\rm HK}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이다.
①\({\overline{\rm HK}}^2={\overline{\rm EH}}^2+\)(\(\overline{\rm HK}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이)이라 하자.
짧은 선분 \(\overline{\rm EH}\)는 유리수 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm EK}\)는 두 번째 이항 성분이다. [X권 정의 II 11 2]
그런데 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다. 길이가 유리수인 선분과 두 번째 이항 선분을 두 변으로 하는 직사각형 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형 한 변의 길이는 첫 번째 네제곱근 평균 선분이다. [X권 명제 55]
그러므로 (직사각형 \(\rm EFIK\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변의 길이는 첫 번째 네제곱근 평균 선분이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)과 넓이가 같은 넓이를 갖는 정사각형의 변은 첫 번째 네제곱근 평균 선분이다.
②\({\overline{\rm HK}}^2={\overline{\rm EH}}^2+\)(\(\overline{\rm HK}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분으로 만든 정사각형 넓이)라 하자.
짧은 선분 \(\overline{\rm EH}\)는 유리수 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm EK}\)는 다섯 번째 이항 성분이다. [X권 정의 II 11 5]
그런데 \(\overline{\rm EF}\)는 유리수이다. 길이가 유리수인 선분과 다섯 번째 이항 선분이 두 변인 직사각형 넓이와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변은 유리수 넓이와 제곱근 평균 넓이를 더한 것의 변이다. [X권 명제 58]
그러므로 (직사각형 \(\rm EFIK\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변은 유리수 넓이와 제곱근 평균 넓이를 더한 것의 변이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm AJDL\) 넓이)와 같은 넓이를 갖는 정사각형 변은 유리수 넓이와 제곱근 평균 넓이를 더한 것의 변이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 명제에서 사용되지 않는다.
유리수 넓이는 \(k\rho^2\)이고 제곱근 평균 넓이는 \(\sqrt{\lambda}\rho^2\)이다. 이때 이 두 수의 합을 넓이로 하는 정사각형 변의 길이는 \(\sqrt{k\rho^2+\sqrt{\lambda}\rho^2}\)이 어떠한 수의 형태인지를 알아보는 명제이다.