X 권
명제
명제 26
두 네제곱근 평균인 넓이의 차이는 유리수만큼 날 수 없다.
두 네제곱근 평균인 넓이의 차이는 유리수만큼 날 수 없다.
X 권
명제
두 네제곱근 평균인 넓이의 차이는 유리수만큼 날 수 없다.
두 네제곱근 평균인 넓이의 차이는 유리수만큼 날 수 없다.
두 네제곱근 평균인 넓이의 차이는 유리수만큼 날 수 없음을 보여야 한다.
두 네제곱 평균인 넓이의 차이가 유리수라고 하자.
직사각형 \(\rm AJBI\) 넓이가 네제곱근 평균이고, 직사각형 \(\rm ADCI\) 넓이도 네제곱근 평균이며, 직사각형 \(\rm DJBC\) 넓이는 유리수라 하고, (직사각형 \(\rm AJBI\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ADCI\) 넓이)\(+\)(직사각형 \(\rm DJBC\) 넓이)를 만족한다고 하자.
길이가 유리수인 선분 \(\rm EF\)를 그리자. 선분 \(\rm EF\) 위에 (직사각형 \(\rm FLHE\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm AJBI\) 넓이)인 정사각형 \(\rm FLHE\)를 그리자. 그러면 직사각형 \(\rm FLHE\)의 다른 한 변은 변 \(\rm EH\)이다.
(직사각형 \(\rm FKGE\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ADCI\) 넓이) 이어서
(직사각형 \(\rm DJBC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm AJBI\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm ADCI\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FLHE\) 넓이)\(-\)(직사각형 \(\rm FKGE\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm KLHG\) 넓이)
(직사각형 \(\rm DJBC\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm KLHG\) 넓이)
이다. 그런데 직사각형 \(\rm DJBC\) 넓이가 유리수이므로 직사각형 \(\rm KLHG\) 넓이도 유리수이다.
직사각형 \(\rm AJBI\) 넓이, 직사각형 \(\rm ADCI\) 넓이는 네제곱근 평균이고, (직사각형 \(\rm ADCI\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FKGE\) 넓이)이므로 직사각형 \(\rm FLHE\) 넓이, 직사각형 \(\rm FKGE\) 넓이는 네제곱근 평균이다. 이 두 직사각형은 한 변의 길이가 유리수인 \(\overline{\rm EF}\)와 같으므로 두 선분 \(\overline{\rm HE}\), \(\overline{\rm EG}\)는 \(\frac{\overline{\rm EG}}{\overline{\rm HE}}\)는 유리수이지만 \(\overline{\rm HE}\), \(\overline{\rm EG}\)는 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
직사각형 \(\rm DJBC\) 넓이는 유리수이고 (직사각형 \(\rm KLHG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm DJBC\) 넓이)이므로 직사각형 \(\rm KLHG\) 넓이도 유리수이다. 직사각형 \(\rm KLHG\)의 한 변의 길이가 유리수인 \(\overline{\rm EF}\)이므로 \(\overline{\rm GH}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
그런데 \(\overline{\rm EG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없으므로 \(\overline{\rm EG}\), \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
\(\overline{\rm EG}:\overline{\rm GH}={\overline{\rm EG}}^2:\overline{\rm EG}\cdot \overline{\rm GH}\)이므로 \({\overline{\rm EG}}^2\)과 \(\overline{\rm EG}\cdot \overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11]
그런데 \({\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GH}}^2\)은 \({\overline{\rm EG}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 \({\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GH}}^2\)과 \({\overline{\rm EG}}^2\) 모두 유리수이기 때문이다. 그리고 \(2\cdot \overline{\rm EG}\cdot \overline{\rm GH}\)는 \(\overline{\rm EG}\cdot \overline{\rm GH}\)과 같은 단위로 측정할 수 있다. 왜냐하면 두 배이기 때문이다. [X권 명제 6]
그러므로 \({\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GH}}^2\)은 \(2 \cdot \overline{\rm EG}\cdot \overline{\rm GH}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 \({\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GH}}^2+2\cdot \overline{\rm EG}\cdot \overline{\rm GH}={\overline{\rm EH}}^2\)는 [II권 명제 4] \({\overline{\rm EG}}^2+{\overline{\rm GH}}^2\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 16]
그런데 \({\overline{\rm EG}}^2 + {\overline{\rm GH}}^2\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm EH}}^2\)은 유리수가 아닌 무리수이다. [X권 정의 4] 그러므로 \(\overline{\rm EH}\)는 무리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm EH}\)가 유리수인것에 모순이다.
그러므로 두 네제곱근 평균인 넓이의 차이는 유리수만큼 날 수 없다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적인 표현으로 나타내면 다음과 같다.
\(a\), \(b\)는 유리수이고 \(a>b>0\)이라 하자. 큰 직사각형 넓이와 작은 직사각형 넓이를 각각 \(\sqrt{a}\), \(\sqrt{b}\)라 하면 두 수는 무리수이다.
\(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)가 유리수라고 하자. 그러면 \(a-2 \sqrt{ab}+b\)는 유리수이다. 그러면 \(\sqrt{\frac ab}\)가 유리수인것 처럼 \(\sqrt{ab}\)가 유리수이다. 그러면 \(\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{b}\left(\sqrt{\frac ab}-a \right)\)은 무리수와 유리수의 곱으로 전체 결과는 무리수이다. 이것은 모순이다. 왜냐하면 \(a\ne b\)이면 \(\sqrt{\frac ab}-1 \ne 0\)이고 유리수이므로 결론적으로 곱의 결과는 무리수이다.
이 명제는 [X권 명제 42]에서 사용을 시작으로 [X권] 몇몇 명제에서 사용된다.