X 권
명제
\(\rm\angle A=90^\circ\)인 직각 삼각형 \(\rm ABC\)에 대하여, 점 \(\rm A\)에서 밑변 \(\rm BC\)에 수선 \(\rm AD\)를 그려라. 그러면 \(\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}={\overline{\rm AB}}^2\), \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm CD}={\overline{\rm CA}}^2\), \(\overline{\rm BD}\cdot\overline{\rm DC}={\overline{\rm AD}}^2\), \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm AD}=\overline{\rm BA}\cdot\overline{\rm AC}\)이다.
첫 번째로 \(\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}={\overline{\rm BA}}^2\)이다. 왜냐하면 직각삼각형의 \(\rm\angle A=90^\circ\)인 꼭짓점 \(\rm A\)에서 밑변으로 수선 \(\rm AD\)를 그렸으므로 두 삼각형 \(\rm DBA\), \(\rm DAC\) 모두 삼각형 \(\rm ABC\)와 닮음이며, 서로도 닮음이다. [VI권 명제 8] 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)는 닮음이므로 \(\overline{\rm CB}:\overline{\rm BA}=\overline{\rm BA}:\overline{\rm BD}\)이다. [VI권 명제 4] 그러므로 \(\overline{\rm CB}\cdot\overline{\rm BD}={\overline{\rm BA}}^2\)이다
같은 이유로, \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm CD}={\overline{\rm AC}}^2\)이다.
직각삼각형의 각이 직각인 꼭짓점에서 밑변으로 수선을 그리면 그 수선의 한 꼭짓점에 의해서 밑변이 둘로 나누며 수선은 나누어진 두 선분의 비례 중항이 된다.[VI권 명제 8 따름명제]
그러므로 \(\overline{\rm BD}:\overline{\rm AD}=\overline{\rm AD}:\overline{\rm DC}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm DB}\cdot\overline{\rm DC}={\overline{\rm AD}}^2\)이다. [VI권 명제 17]
다음으로 \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm AD}=\overline{\rm BA}\cdot\overline{\rm AC}\)임을 보이자.
앞에서 두 삼각형 \(\rm ABC\), \(\rm DBA\)는 닮음이므로 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CA}=\overline{\rm BA}:\overline{\rm AD}\)이다. [VI권 명제 4]
그러므로 \(\overline{\rm BC}\cdot\overline{\rm AD}=\overline{\rm BA}\cdot\overline{\rm AC}\)이다. [VI권 명제 16]
Q.E.D.
두 선분에 대하여, 이 두 선분을 한 변으로 하는 두 정사각형 넓이는 같은 단위로 측정할 수 없고, 이 두 정사각형의 넓이를 더 하면 유리수가 되고, 이 두 선분이 두 변이 되는 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이 되는 선분이 존재한다.
어떤 두 선분 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}\)은 \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm FB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm FB}}^2\)은 유리수이며 \(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FB}\)는 네제곱근 평균이 된다.
\(\overline{\rm AB}>\overline{\rm BC}\)인 길이가 유리수인 어떤 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 \({\overline{\rm AB}}^2\), \({\overline{\rm BC}}^2\)만이 같은 단위로 측정할 수 있고, \({\overline{\rm AB}}^2\)은 \({\overline{\rm BC}}^2\)와 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분 길이를 한 변으로 하는 정사각형 넓이와 같다. [X권 명제 30]/p>
선분 \(\rm BC\)의 중점을 \(\rm D\)라 하자. \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}=\overline{\rm BD}\) 또는 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}=\overline{\rm DC}\)인 점 \(\rm E\)를 잡자. 두 변이 \(\rm AE\), \(\rm EB\)인 직사각형을 선분 \(\rm AB\) 위에 놓으면 정사각형을 뺀 모양이 된다. [VI권 명제 28]
선분 \(\rm AB\)와 선분 \(\rm EF\)가 수직이되도록 하고 \(\rm AB\)가 지름인 반원 \(\rm AFB\)를 그리자. 두 선분 \(\rm AF\), \(\rm FB\)를 그리자.
\(\overline{\rm AB}\ne\overline{\rm BC}\), \({\overline{\rm AB}}^2\)은 \({\overline{\rm BC}}^2\)과 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분 길이의 제곱의 합과 같다. 또한 \(\rm AB\) 위에 넓이가 \(\frac14{\overline{\rm BC}}^2\)인 직사각형을 그렸다. 즉, 넓이가 \(\left(\frac12\overline{\rm BC}\right)^2\)이며 정사각형을 뺀 모양의 직사각형을 그렸다. 이 직사각형은 두 변이 \(\rm AE\), \(\rm EB\)인 직사각형이다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 18]
\(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm BA}\cdot\overline{\rm AE}:\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BE}\), \(\overline{\rm BA}\cdot\overline{\rm AE}={\overline{\rm AF}}^2\), \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BE}={\overline{\rm BF}}^2\)이므로 \({\overline{\rm AF}}^2\)은 \({\overline{\rm FB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \({\overline{\rm AF}}^2\), \({\overline{\rm FB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.
\(\overline{\rm AB}\)가 유리수이므로 \({\overline{\rm AB}}^2\)도 유리수이다. 따라서 \({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm FB}}^2\)도 유리수이다. [I권 명제 47]
\(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}={\overline{\rm EF}}^2\), 가정에 의해서 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}=BD^2\)이므로 \(\overline{\rm FE}=\overline{\rm BD}\)이다. 그러므로 \(\overline{\rm BC}=2\cdot \overline{\rm FE}\)이며, \({\overline{\rm AB}}^2\), \(\overline{\rm BC}^2\)은 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm BC}\)는 네제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm EF}\)도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름명제] 그런데 \(\overline{\rm AB}\cdot\overline{\rm EF}=\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FB}\)이다. [보조명제] 따라서 \(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FB}\)도 네제곱근 평균이다.
이 \({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm FB}}^2\)은 유리수임을 보였다. 그러므로 이러한 두 선분 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FB}\)는 \({\overline{\rm AF}}^2\), \(\overline{\rm FB}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없고, \({\overline{\rm AF}}^2+{\overline{\rm FB}}^2\)은 유리수이며, \(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FB}\)는 네제곱근 평균이다.
보조정리는 [I권 명제 47]을 포함하지만, I.47에 대한 유클리드의 증명과 달리, 그 증명은 [VI권]에서 다룬 삼각형 닮음 이론을 사용한다.
이 명제는 [X권 명제 39], [X권 명제 76]에서 사용된다.