X 권
명제
명제 70
두 제곱근 평균 넓이를 더한 길이인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 두 제곱근 평균 넓이를 더한 길이인 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 값과 같다고 하자. 그리고 선분 \(\rm CD\)는 선분 \(\rm AB\)와 같은 단위로 길이를 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 길이와 같은 선분이다.
X 권
명제
두 제곱근 평균 넓이를 더한 길이인 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 두 제곱근 평균 넓이를 더한 길이인 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 값과 같다고 하자. 그리고 선분 \(\rm CD\)는 선분 \(\rm AB\)와 같은 단위로 길이를 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 길이와 같은 선분이다.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 값과 같다고 하자. 그리고 선분 \(\rm CD\)는 선분 \(\rm AB\)와 같은 단위로 길이를 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 길이와 같은 선분임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\)는 두 제곱근 평균의 넓이를 더한 길이이다. 또한 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm E\)로 자르자. 그러면 두 선분 \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm EB}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)는 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이다. 그런데 \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)와 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다.[X권 명제 41]
앞의 명제와 같이 작도를 하자. 그러면 같은 이유로 \({\overline{\rm CF}}^2\)와 \({\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 없으며, \({\overline{\rm AE}}^2+{\overline{\rm EB}}^2\)와 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)와 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 따라서 \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)는 제곱근 평균이며, \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 제곱근 평균이며, \({\overline{\rm CF}}^2+{\overline{\rm FD}}^2\)과 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm CD}\)은 두 제곱근 평균인 넓이를 더한 변의 길이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 명제에서 사용되지 않는다.