X 권
명제
명제 91
길이가 유리수인 선분과 첫 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변의 길이는 뺀 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 첫 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 (직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이)와 같은 정사각형 변은 뺀 선분이다.
X 권
명제
길이가 유리수인 선분과 첫 번째 뺀 선분을 두 변으로 하는 직사각형의 넓이와 같은 정사각형의 변의 길이는 뺀 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 첫 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 (직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이)와 같은 정사각형 변은 뺀 선분이다.
길이가 유리수인 선분 \(\rm AC\)와 첫 번째 뺀 선분 \(\rm AD\)를 두 변으로 하는 (직사각형 \(\rm ACBD\)의 넓이)와 같은 정사각형 변은 뺀 선분임을 보이자.
\(\rm AD\)가 첫 번째 선분인데, 이 선분에 \(\rm DG\)를 붙였다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm GD}\)은 유리수이며 단 \({\overline{\rm AG}}^2\), \({\overline{\rm GD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 73]
그리고 \(\overline{\rm AG}\)는 주어진 유리수 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으며, \({\overline{\rm AG}}^2={\overline{\rm DG}}^2+\)(\(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이) [X권 정의 III 1]
선분 \(\rm AG\)에 넓이가 \(\frac14{\overline{\rm DG}}^2\)이며 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 붙이면, \(\overline{\rm AG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 두 선분으로 나눌 수 있다. [X권 명제 17]
선분 \(\rm DG\)의 중심을 \(\rm E\)라 하자. 선분 \(\rm AG\)에 넓이가 \({\overline{\rm EG}}^2\)와 같고 정사각형을 뺀 모양인 평행사변형을 붙이자. 그 평행사변형은 \(\rm AF\), \(\rm FG\)가 두 변인 직사각형이라 하자. 그러면 \(\overline{\rm AF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
점 \(\rm E\), \(\rm F\), \(\rm G\)에서 선분 \(\rm AC\)에 평행하도록 선분 \(\rm EH\), \(\rm FI\), \(\rm GK\)를 그리자.
\(\overline{\rm AF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm AG}\)는 각각 두 선분 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm AG}\)와 \(\overline{\rm AC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\)도 각각 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12]
그런데 \(\overline{\rm AC}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm AF}\), \(\overline{\rm FG}\) 모두 유리수이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm AF}\)는 유리수이고 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm FG}\)도 유리수이다. [X권 명제 19]
\(\overline{\rm DE}\)와 \(\overline{\rm EG}\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 \(\overline{\rm DG}\)는 \(\overline{\rm DE}\)와 \(\overline{\rm EG}\) 모두와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm DG}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm DE}\), \(\overline{\rm EG}\)도 유리수이며 \(\overline{\rm AC}\)와 같은 단위로 측정 할 수 없다. [X권 명제 13] 그러므로 (직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이) 모두 제곱근 평균이다. [X권 명제 21]
(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)가 되도록 정사각형 \(\rm LRMP\)를 작도하자. (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)인 정사각형 \(\rm NQOP\)를 정사각형 \(\rm LRMP\)에서 빼자. 이 두 정사각형은 \(\rm\angle LPM=90^\circ\)를 공유하므로 두 정사각형 \(\rm LRMP\), \(\rm NQOP\)는 같은 대각선 \(\rm PR\)을 갖는다. [VI권 명제 26]
그림처럼 도형을 작도하자.
\(\overline{\rm AF}\cdot\overline{\rm FG}={\overline{\rm EG}}^2\)이므로 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}\)이다 [VI권 명제 17] 그런데 \(\overline{\rm AF}:\overline{\rm EG}=\)(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이고, \(\overline{\rm EG}:\overline{\rm FG}=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)는 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)의 비례 중항이다 [V권 명제 11]
그런데 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)는 (정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)의 비례 중항임을 보였다. [X권 명제 53 보조 명제] 그리고 (직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)이고 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)이다.
그런데 (직사각형 \(\rm EHKG\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)이고, (직사각형 \(\rm NTMP\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)이다. 따라서 (직사각형 \(\rm DBKG\) 넓이)\(=\)(다각형 \(\rm LSQTMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. 그런데 (직사각형 \(\rm ACKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(+\)(정사각형 \(\rm SRTQ\) 넓이)이다.
그런데 \(\rm SRTQ\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2=\)(정사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)이다. 그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 정사각형 \(\rm ACBD\)의 변이다.
다음으로 선분 \(\rm LN\)이 뺀 선분임을 보이자.
(직사각형 \(\rm ACIF\) 넓이), (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이) 모두 유리수이고, \(\rm ACIF\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)이고 (직사각형 \(\rm FIKG\) 넓이)\(=\)(정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)이므로 (정사각형 \(\rm LRMP\) 넓이)\(={\overline{\rm LP}}^2\)과 (정사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(={\overline{\rm PN}}^2\)으로 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm PN}\) 모두 유리수이다.
그리고 (직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이)는 제곱근 평균이며 (직사각형 \(\rm DBHE\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)이므로 (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)도 제곱근 평균이며, (직사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)가 유리수이므로 (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)는 같은 단위로 측정할 수 없다.
그런데 (직사각형 \(\rm LSOP\) 넓이)\(:\)(직사각형 \(\rm NQOP\) 넓이)\(=\overline{\rm LP}:\overline{\rm NP}\)dlek. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 11] 그리고 이 두 선분 길이는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm LP}\), \(\overline{\rm NP}\)는 유리수이고 단 \({\overline{\rm LP}}^2\), \({\overline{\rm NP}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm LN}\)은 뺀 선분이다. [X권 명제 73] 그리고 \(\overline{\rm LN}\)은 (정사각형 \(\rm ACBD\) 넓이)\(={\overline{\rm LN}}^2\)인 정사각형 \(\rm ACBD\)의 변이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 108]에서 사용된다.