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증명
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러면 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 수 \(\overline{\rm AC}\)도 \(\overline{\rm AB}\),
\(\overline{\rm BC}\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있음을 보여야 한다.
두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)가 같은 단위로 측정할 수 있으므로 어떤 수가 이 두 수를 나눈다. 그 어떤
수를 \(d\)라 하자.
그러면 \(\)d는 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 모두 나누므로 d는 AC도 나눈다.
그런데 \(d\)는 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)도 나눈다. 따라서 d는 \(\overline{\rm AB}\),
\(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm AC}\)를 모두 나눈다. 즉, \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\),
\(\overline{\rm AC}\)의 공약수이다.
따라서 \(\overline{\rm AC}\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)와 각각 같은 단위로 측정할 수 있다.
다음으로 \(\overline{\rm AC}=\overline{\rm AB}+\overline{\rm BC}\)인 수 \(\overline{\rm AC}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은
단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 두 수 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있음을
보여야 한다.
두 수 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)를 같은 단위로 측정할 수 있으므로, 어떤 수가 두 수 \(\overline{\rm AC}\),
\(\overline{\rm AB}\)를 나눈다. 그 어떤 수를 \(d\)라 하자.
\(d\)가 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm AB}\)를 나누므로 \(\overline{\rm BC}=\overline{\rm AB}-\overline{\rm
AC}\)이므로 \(d\)는 \(\overline{\rm BC}\)를 나눈다.
그런데 \(d\)는 또한 \(\overline{\rm AB}\)를 나눈다. 그러므로 \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)를 동시에
나눈다. 즉, \(d\)는 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)의 공약수이다.
그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 두 수들이 같은 단위로 측정할 수 있으면, 그 두 수를 더한 수도 이전 두 수 각각의 수와도 같은 단위로 측정할 수 있다.
역으로 두 수를 더한 수가 이전의 두 수 중 어느 한 수와 같은 단위로 측정할 수 있으면 이전의 두 수도 같은 단위로 측정할 수
있다.
Q.E.D.
