X 권
명제
명제 87
세 번째 뺀 선분을 작도할 수 있다.
세 번째 뺀 선분을 작도할 수 있다.
X 권
명제
세 번째 뺀 선분을 작도할 수 있다.
세 번째 뺀 선분을 작도할 수 있다.
길이가 유리수 \(a\)인 선분이 있다. 세 수 \(e\), \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm CD}\)를 서로간 비율이 제곱수와 제곱수의 비율이 되지 않게 하고, \(\overline{\rm BC}\), \(\overline{\rm BD}\)의 비율이 제곱수와 제곱수의 비율이 되게 하자.
\(e:\overline{\rm BC}=a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)가 되도록 하고, \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)가 되도록 하자. [X권 명제 6 따름 명제]
\(e:\overline{\rm BC}=a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이므로 \(a^2\)과 \({\overline{\rm FG}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그런데 \(a^2\)는 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)는 유리수이다.
\(e:\overline{\rm BC}\)는 제곱수와 제곱수의 비율과 같지 않으므로 \(e:\overline{\rm BC}=a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율과 같지 않다. 그러므로 \(a\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이므로 \({\overline{\rm FG}}^2\)와 \({\overline{\rm GH}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그런데 \({\overline{\rm FG}}^2\)은 유리수이다. 그러므로 \({\overline{\rm GH}}^2\)도 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm GH}\)도 유리수이다.
그리고 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}\)는 제곱수와 제곱수의 비율이 아니므로 \({\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
그리고 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 모두 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm FG}}^2\)와 \({\overline{\rm GH}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm FH}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73]
\(\overline{\rm FH}\)가 세 번째 밴 선분임을 보이자.
\(e:\overline{\rm BC}=a^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이고, \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이므로 \(e:\overline{\rm CD}=a^2:{\overline{\rm HG}}^2\)이다. [V권 명제 22]
그런데 \(e:\overline{\rm CD}\)는 제곱수와 제곱수의 비율과 같지 않다. 그러므로 \(a^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이 아니다. 그러므로 \(a\)와 \(\overline{\rm GH}\)은 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 모두 유리수이고 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 선분 길이가 \(k\)인 선분이 \({\overline{\rm FG}}^2={\overline{\rm GH}}^2+k^2\)이 되도록 하자.
\(\overline{\rm BC}:\overline{\rm CD}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이므로 전자와 뺀 것과의 비례식에 따라서 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm BD}={\overline{\rm FG}}^2:k^2\)이다.
그런데 \(\overline{\rm BC}:\overline{\rm BD}\)는 제곱수와 제곱수의 비율이다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2:k^2\)도 제곱수와 제곱수의 비율이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(k\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 9]
그리고 \({\overline{\rm FG}}^2={\overline{\rm GH}}^2+\)(\(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다. 그리고 \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GH}\)는 주어진 길이 \(a\)와 같은 단위로 측정할 수 없다.
그러므로 \(\overline{\rm FH}\)는 세 번째 선분이다. [X권 정의 III 3]
Q.E.D.
이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.
\(\rho\)는 유리수이고 \(p\), \(qm^2\), \(q\left(m^2-n^2\right)\)는 서로 제곱수:제곱수의 비율이 아님
\(\rho:qm^2=\rho^2:x^2\)과 \(qm^2:q\left(m^2-n^2\right)=x^2:y^2\)을 만족하는 \(x\), \(y\)를 구하면 다음과 같다.
\(x=\rho \cdot \frac{m^\sqrt{q}}{\sqrt{p}}\)이고, \(y=\rho \cdot \frac{\sqrt{m^2-n^2}\sqrt{q}}{\sqrt{p}}\)
따라서 \(k=\sqrt{x^2-y2}\)이고 \(\overline{\rm FG}=x\), \(\overline{\rm GH}=y\)이다. 따라서 \(\overline{\rm FH}=x-y\)가 세 번째 뺀 선분이다.