정의 I 3

위의 가정들로 부터, 어떤 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분들이 무수히 많으며, 같은 단위로 측정할 수 없는 선분이 무수히 많음을 보일 수 있다. 또한 어떤 주어진 선분과 길이만 같은 단위로 측정할 수 없는 선분들, 길이와 이들로 만든 정사각형 넓이 둘 다 같은 단위로 측정할 수 없는 선분들이 각각 무수히 많다.

어떤 주어진 선분의 길이가 유리수라고 하자. 그러면 선분과 길이 또는 이들로 만든 정사각형들의 넓이를 같은 단위로 측정할 수 있는 선분들의 길이를 ‘유리수’라고 한다. 같은 단위로 측정할 수 없는 선분들은 ‘무리수’라 한다.