X 권
명제
이항 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같은 직사각형을 만들어 길이가 유리수인 선분 위에 놓자. 그러면 이때 직사각형의 가로 길이는 이항 선분이 된다.
이항 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에서 자르고, \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)라 하자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)이 한 변이고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm DG}\)은 첫 번째 이항 선분이다.
이항 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)에서 자르고, \(\overline{\rm AC} > \overline{\rm CB}\)라 하자. 길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\)이 한 변이고 넓이가 \({\overline{\rm AB}}^2\)인 직사각형 \(\rm DEFG\)를 작도하자. 그러면 \(\overline{\rm DG}\)은 첫 번째 이항 선분임을 보이자.
길이가 유리수인 선분 \(\rm DE\) 위에 (직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2\)가 직사각형 \(\rm DEHK\)를 작도하자. 그리고 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)\(={\overline{\rm BC}}^2\)인 직사각형 \(\rm KHLM\)을 작도하자.
그러면 \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)가 남고 (직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)\(=2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다.
선분 \(\rm MG\)의 중점을 \(\rm N\)이라 하자. 선분 \(\rm ML\) 또는 선분 \(\rm GF\)와 평행인 선분 \(\rm NO\)를 그리자. 그러면 (직사각형 \(\rm MLON\) 넓이)\(=\)(직사각형 \(\rm NOFG\) 넓이)\(=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이다.
이항 선분 \(\rm AB\)를 점 \(\rm C\)로 잘랐기 때문에 두 선분 \(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 36]
그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 유리수이며 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)은 유리수이다. [X권 명제 15]
또한 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)\(={\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2\)이다. 그러므로 (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)는 유리수이다. 직사각형 \(\rm DELM\)의 한 변 \(\rm DE\)의 길이가 유리수이므로 \(\overline{\rm DM}\)은 유리수이며 \(\overline{rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 20]
\(\overline{\rm AC}\), \(\overline{\rm CB}\)는 유리수이며, 단 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)는 제곱근 평균이다. 즉, (직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)가 제곱근 평균이다. [X권 명제 21] 직사각형 \(\rm MLFG\)의 한 변의 길이 \(\overline{\rm ML}\)은 유리수이므로, 나머지 한 변의 길이 \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이며, \(\overline{\rm ML}\)과 같은 단위로 측정할 수 없다. 즉, \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
그런데 \(\overline{\rm MD}\)는 유리수이며 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그리고 \(\overline{\rm DM}\)과 \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm DM}}^2\)과 \({\overline{\rm MG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
다음으로 \(\overline{\rm DG}\)가 첫 번째 이항 선분임을 보이자.
\({\overline{\rm AC}}^2:\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}=\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}:{\overline{\rm CB}}^2\) 이어서 [X권 명제 54 보조 명제] (직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이):(직사각형 \(\rm MLON\) 넓이)=(직사각형 \(\rm MLON\) 넓이):(직사각형 \(\rm HKLM\) 넓이)이다.
따라서 \(\overline{\rm DK}:\overline{\rm MN}=\overline{\rm MN}:\overline{\rm KM}\)이다. [VI권 명제 1] 그러므로 \(\overline{\rm DK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm MN}}^2\)이다. [VI권 명제 17]
그런데 \({\overline{\rm AC}}^2\), \({\overline{\rm CB}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 (직사각형 \(\rm DEHK\) 넓이)와 (직사각형 \(\rm KHLM\) 넓이)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DK}\)와 \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
\({\overline{\rm AC}}^2+{\overline{\rm CB}}^2 > 2\cdot\overline{\rm AC}\cdot\overline{\rm CB}\)이므로 [보조 명제], (직사각형 \(\rm DELM\) 넓이)\(>\)(직사각형 \(\rm MLFG\) 넓이)이다. 따라서 \(\overline{\rm DM} > \overline{\rm MG}\)이다. [VI권 명제 1]
그리고 \(\overline{\rm DK}\cdot\overline{\rm KM}={\overline{\rm MN}}^2=\frac14{\overline{\rm MG}}^2\)이다. 그리고 \(\overline{\rm DK}\)와 \(\overline{\rm KM}\)은 같은 단위로 측정할 수 있다.
길이가 다른 두 선분이 있다. 긴 선분에 정사각형을 뺀 평행사변형을 붙였고, 그 평행사변형의 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이의 1/4이라고 하자. 평행사변형이 원래 선분을 나누었는데, 만약 그 두 선분이 같은 단위로 측정할 수 있다면 긴 선분으로 만든 정사각형 넓이는 짧은 선분으로 만든 정사각형 넓이와 긴 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분으로 만든 정사각형 넓이의 합과 같다. [X권 명제 17]
그러므로 \({\overline{\rm DM}}^2\)은 \({\overline{\rm MG}}^2\)과 \(\overline{\rm DM}\)과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합과 같다.
\(\overline{\rm DM}\), \(\overline{\rm MG}\)는 유리수이고, \(\overline{\rm DM}>\overline{\rm MG}\)이며, \(\overline{\rm DM}\)은 유리수인 \(\overline{\rm DE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm DG}\)는 첫 번째 이항 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [X권 명제 72], [X권 명제 111]에서 사용된다.
이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다.
\(k\)는 정수, \(\rho\)는 정수이고 \(\sigma\)는 유리수라 하자.
\(\overline{\rm AC}=\rho\sqrt{k}\), \(\overline{\rm CB}=\rho\),
\(\overline{\rm DE}=\sigma\), \(\overline{\rm DG}=\left(\rho+\rho\sqrt{k}\right)^2\)
\(\displaystyle\overline{\rm DK}=\frac{k\rho^2}{\sigma}\), \(\displaystyle\overline{\rm KM}=\frac{\rho^2}{\sigma}\), \(\displaystyle\overline{\rm MN}=\overline{\rm NG}=\frac{\rho^2}{\sigma}\sqrt{k}\)