X 권
명제
명제 67
네제곱근 평균과 같은 단위로 측정할 수 있는 것은 같은 종류의 네제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 네제곱근 평균이라 하고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 네제곱근 평균이다.
X 권
명제
네제곱근 평균과 같은 단위로 측정할 수 있는 것은 같은 종류의 네제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 네제곱근 평균이라 하고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 네제곱근 평균이다.
\(\overline{\rm AB}\)가 네제곱근 평균이라 하고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 \(\overline{\rm CD}\)도 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 네제곱근 평균임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\)가 네제곱근 평균이므로 어떤 점 \(\rm E\)로 두 선분으로 나누자. 그러면 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이며 \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm EB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 37, 38]
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)이 되도록 하자. 그러면 \(\overline{\rm EB}:\overline{\rm FD}=\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}\)이다. [V권 명제 19]
그런데 \(\overline{\rm AB}\)와 \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm EB}\)와 \(\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그리고 \(\overline{\rm AE}\)와 \(\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\)와 \(\overline{\rm FD}\)도 제곱근 평균이다. [X권 명제 23]
\(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이고 [V권 명제 11] 그리고 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 단 \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm EB}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있으므로, \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)는 단 \({\overline{\rm CF}}^2\), \({\overline{\rm FD}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11] 그런데 이 두 선분의 길이는 제곱근 평균임을 보였다. 그러므로 \(\rm CD\)는 네제곱근 평균이다.
다음으로 \(\overline{\rm CD}\)가 \(\rm AB\)와 같은 종류의 네제곱근 평균임을 보이자. \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm EB}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이므로 \({\overline{\rm AE}}^2:\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}={\overline{\rm CF}}^2:\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)이다. 그러므로 바꾼 비례식에 의해서 \({\overline{\rm AE}}^2:{\overline{\rm CF}}^2=\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}:\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 16]
그런데 \({\overline{\rm AE}}^2\), \({\overline{\rm CF}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\), \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 유리수이면 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)는 유리수이다. 이러한 경우 \(\overline{\rm CD}\)는 첫 번재 네제곱근 평균이다. [X권 명제 37] 만약 \(\overline{\rm AE}\cdot\overline{\rm EB}\)는 제곱근 평균이면 \(\overline{\rm CF}\cdot\overline{\rm FD}\)는 제곱근 평균이다. [X권 명제 37] 그러므로 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 모두 두 번째 네제곱근 평균이다. [X권 명제 38] 같은 이유로 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 종류의 네제곱근 평균이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 명제에서 사용되지 않는다.