애플릿

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증명

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두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)를 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)는 제곱수 비와 같고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)는 제곱수 비가 아니게 잡자. 제곱수가 아닌 \(d\)를 잡자. 또한 \(d:\overline{\rm BA}\) 또는 \(d:\overline{\rm AC}\)가 제곱수의 비와 같지 않도록 하자.

유리수 \(e\)를 잡자. \(d:\overline{\rm AB}=e^2:{\overline{\rm FG}}^2\)가 되도록 선분 \(\rm FG\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \(e^2\)과 \({\overline{\rm FG}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그런데 \(e\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)도 유리수이다.

\(d:\overline{\rm AB}\)가 제곱수의 비와 같지 않으므로, \(e^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \(e\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

다음으로 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)가 되도록 선분 \(\rm GH\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \({\overline{\rm FG}}^2\)과 \({\overline{\rm GH}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있따. [X권 명제 6] 그런데 \(\overline{\rm FG}\)는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm GH}\)도 유리수이다.

\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)은 제곱수의 비와 같지 않으므로 \({\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9] 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 유리수이며 \({\overline{\rm FG}}^2\)과 \({\overline{\rm GH}}^2\)은 같은 단위로 측정할 수 있다. 따라서' \(\overline{\rm FH}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]

\(\overline{\rm FH}\)가 세 번째 이항 선분임을 보이자.

\(d:\overline{\rm AB}=e^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이고, \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이다. 그러므로 \(d:\overline{\rm AC}=e^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이다. 단, \(e\)와 \(\overline{\rm GH}\)를 각각 한 변으로하는 정사각형은 같은 위치에 있다. [V권 명제 22]

그런데 \(d:\overline{\rm AC}\)는 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \(e^2:{\overline{\rm GH}}^2\)도 제곱수의 비와 같지 않다. 그러므로 \(e\)와 \(\overline{\rm GH}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]

그리고 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm FG}}^2:{\overline{\rm GH}}^2\)이다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2>{\overline{\rm GH}}^2\)이다. \({\overline{\rm GH}}^2+k^2={\overline{\rm FG}}^2\)가 되도록 \(k\)를 잡자. 그러면 전자와 뺀 것과의 비례식에 따라서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}={\overline{\rm FG}}^2:k^2\)이다. [V권 명제 19 따름명제]

그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)는 제곱수 비와 같다. 그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2:k^2\)도 제곱수 비와 같다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(k\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 9]

그러므로 \({\overline{\rm FG}}^2\)은 \({\overline{\rm GH}}^2\)에 \(\overline{\rm FG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분의 길이의 제곱과 같다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\), \(\overline{\rm GH}\)는 유리수이고 \({\overline{\rm FG}}^2\), \({\overline{\rm GH}}^2\) 만 같은 단위로 측정할 수 있으며, 두 수도 \(e\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)는 세 번째 이항 선분이다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.

이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다. \(\rho\), \(m\), \(n\), \(k\)은 양의 정수이다.

\(\overline{\rm AC}=\rho\left(m^2-n^2\right)\), \(\displaystyle\overline{\rm CB}=\rho n^2\)

\(\displaystyle\overline{\rm EF}=k\rho\), \(\displaystyle\overline{\rm FG}=k\rho \cdot \frac{m}{\sqrt{m^2-n^2}}\)

\(\displaystyle h=k\rho\sqrt{\frac{m^2}{m^2-n^2}-1}\)