X 권
명제
명제 111
뺀 선분은 이항 선분이 아니다.
뺀 선분 \(\rm AB\)는 이항 선분이 아니다.
X 권
명제
뺀 선분은 이항 선분이 아니다.
뺀 선분 \(\rm AB\)는 이항 선분이 아니다.
뺀 선분 \(\rm AB\)는 이항 선분이 아님을 보이자.
같을 수 있다고 하자. 유리수 \(\overline{\rm DC}\)에 대하여, (직사각형 \(\rm DCKE\) 넓이)\(={\overline{\rm AB}}^2\)이고 한 변이 \(\rm DC\)인 직사각형 \(\rm DCKE\)를 작도하면 나머지 한 변은 \(\rm DE\)이다.
\(\rm AB\)가 이항 선분이므로 \(\rm DE\)는 첫 번째 뺀 선분이다. [X권 명제 97]
선분 \(\rm DE\)를 일직선이 되도록 선분 \(\rm EF\)를 잊자. 그러면 \(\overline{\rm DF}\), \(\overline{\rm FE}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm DF}}^2\), \({\overline{\rm FE}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \({\overline{\rm DF}}^2={\overline{\rm FE}}^2+\)(\(\overline{\rm DF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 변인 정사각형 넓이)이며, \(\overline{\rm DF}\)는 유리수 \(\overline{\rm DC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 정의 III 1]
\(\rm AB\)가 이항 선분이므로 \(\rm DE\)는 첫 번째 이항 선분이다. [X권 명제 60] \(\rm DE\)를 점 \(\rm G\)에서 자르자. 그리고 \(\overline{\rm DG}>\overline{\rm GE}\)이라고 하자. 그러면 \(\overline{\rm DG}\), \(\overline{\rm GE}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm DG}}^2\), \({\overline{\rm GE}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있고, \({\overline{\rm DG}}^2={\overline{\rm GE}}^2+\)(\(\overline{\rm DG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분이 변인 정사각형 넓이)이고, 큰 수 \(\overline{\rm DG}\)는 유리수 \(\overline{\rm DC}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 정의 II 1]
그러므로 \(\overline{\rm DF}\)도 \(\overline{\rm DG}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 그러므로 나머지 \(\overline{\rm GF}\)도 \(\overline{\rm DF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 15] 그런데 \(\overline{\rm DF}\)와 \(\overline{\rm EF}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)와 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 \(\overline{\rm GF}\), \(\overline{\rm FE}\)는 유리수이며 단 \({\overline{\rm GF}}^2\), \({\overline{\rm FE}}^2\) 만이 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73] 그런데 \(\overline{\rm EG}\)는 뺀 선분이다. [X권 명제 73] 그런데 \(\overline{\rm EG}\)는 유리수이므로 이것은 모순이다. 그러므로 뺀 선분은 이항 선분과 같지 않다.
Q.E.D.
뺀 선분과 그 이후로 나오는 길이가 무리수 선분들은 모두 서로 다르며 제곱근 평균과도 다르다.
길이가 제곱근 평균인 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 다른 변의 길이는 유리수이며 한 변의 길이와 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 22]
뺀 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 다른 변은 첫 번째 뺀 선분이다. [X권 명제 97]
제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 다른 변은 두 번째 뺀 선분이다. [X권 명제 98]
제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 다른 변은 세 번째 뺀 선분이다. [X권 명제 99]
짧은 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 다른 변은 네 번째 뺀 선분이다 [X권 명제 100]
유리수를 더해서 제곱근 평균인 넓이가 되는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 다른 변은 다섯 번째 뺀 선분이다. [X권 명제 101]
제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균인 넓이를 만드는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이와 같고 한 변이 유리수인 직사각형의 나머지 다른 변은 여섯 번째 뺀 선분이다. [X권 명제 102]
이 때 직사각형의 나머지 변들 모두는 뺀 선분과 길이가 다르고 이들 서로 길이가 모두 다르다. 첫 번째 뺀 선분은 유리수이므로 다르고, 이 후 나오는 선분들의 길이는 모두 그 종류가 다르므로 서로 다르다. 그러므로 길이가 무리수인 선분들 모두 다르다.
그리고 뺀 선분과 이항 선분은 서로 다름을 보였다. [X권 명제 111] 그런데 뺀 선분 이후 나오는 선분의 길이가 무리수이며 그 선분을 변으로 하는 정사각형의 넓이와 같고 한 변의 길이가 유리수인 직사각형의 나머지 한 변은 그 종류에 따라 이항 선분들이다.
그러므로 뺀 선분 이후 나오는 선분들의 이항 선분 다음에 나오는 선분들은 모두 다르며, 모두 13종류의 길이가 무리수인 선분들이 있다.
이는 제곱근 평균 선분, 이항 선분, 첫 번째 네제곱근 평균 선분, 두 번째 네제곱근 평균 선분, 긴 선분, 유리수 넓이와 제곱근 평균 넓이를 더한 변, 제곱근 평균인 두 넓이를 더한 변, 뺀 선분, 제곱근 평균을 뺀 첫 번째 선분, 제곱근 평균을 뺀 두 번째 선분, 짧은 선분, 유리수를 더해서 제곱근 평균인 넓이를 만드는 선분, 제곱근 평균을 더해서 제곱근 평균의 넓이를 만드는 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 [원론]에서 이후 명제에서 사용되지 않는다.