애플릿

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증명

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같은 단위로 잴 수 있는 수 \(a\), \(b\)가 있다고 하자.

그러면 \(a:b=d:e\)인 수 \(d\), \(e\)가 존재함을 보여야 한다.

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두 수 \(a\), \(b\)는 같은 단위로 측정할 수 있으므로 어떤 수가 이 두 수 \(a\), \(b\)를 나눈다. 그 어떤 수를 \(c\)라 하자. 단위수를 \(1\)이라 하자. 수 \(d\)는 \(\frac ac=\frac d1\)라 하자. 그리고 수 \(e\)는 \(\frac bc=\frac e1\)이라 하자.

\(\frac ac=\frac d1\)이므로 \(c:a=1:d\)이다. [VII권 정의 20] 그러므로 역 비 \(a:c=d:1\)이 성립한다. [V권 명제 7 따름명제]

\(\frac bc=\frac e1\)이므로 \(c:b=1:e\)이다. 그런데 \(a:c=d:1\)임을 보였다. 따라서 같은 위치에 있는 비가 같아 \(a:b=d:e\)이다. [V권 명제 22]

그러므로 같은 단위로 측정 할 수 있는 수 \(a\), \(b\)에 대하여, \(a:b=d:e\)인 수 \(d\), \(e\)가 존재한다.

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그러므로 같은 단위로 측정 할 수 있는 수들의 비는 어떤 두 수의 비와 같다.

Q.E.D.

부연설명

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이 명제는 대수적으로 나타내면 다음과 같다.

수 \(a\), \(b\)가 어떤 수 \(c\)에 대하여 \(a=mc\), \(b=nc\)인 \(m\), \(n\)이 존재하면 \(a:b=m:n\)이다.

이 명제는 [X권 명제 8]과 이후 몇 개의 명제에서 사용된다.