X 권
명제
명제 51
네 번째 이항 선분을 구할 수 있다.
네 번째 이항 선분을 구할 수 있다.
X 권
명제
네 번째 이항 선분을 구할 수 있다.
네 번째 이항 선분을 구할 수 있다.
두 선분 \(\rm AC\), \(\rm CB\)를 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)과 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\) 모두 제곱수의 비와 같이 않도록 잡자. 주어진 유리수 \(d\)에 대하여, 선분 \(\rm EF\)를 \(d\)와 \(\overline{\rm EF}\)가 같은 단위로 측정할 수 있도록 잡자. 그러면 \(\overline{\rm EF}\)도 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)가 되도록 선분 \(\rm FG\)를 잡자. [X권 명제 6 따름명제] 그러면 \({\overline{\rm EF}}^2\)와 \({\overline{\rm FG}}^2\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 6] 그러므로 \(\overline{\rm FG}\)는 유리수이다.
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}\)가 제곱수의 비와 같이 않으므로 \({\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)도 제곱수의 비와 같이 않다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 \(\overline{\rm FG}\)는 유리수이며 \({\overline{\rm EF}}^2\)과 \({\overline{\rm FG}}^2\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 이항 선분이다. [X권 명제 36]
이제 \(\overline{\rm EG}\)가 네 번째 이항 선분임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}:\overline{\rm AC}={\overline{\rm EF}}^2:{\overline{\rm FG}}^2\)이고, \(\overline{\rm AB}>\overline{\rm AC}\)이므로 \({\overline{\rm EF}}^2>{\overline{\rm FG}}^2\)이다. \({\overline{\rm FG}}^2+h^2={\overline{\rm EF}}^2\)가 되도록 \(h\)를 잡자.
그러면 전자와 뺀 것의 비례식에 의해서 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}={\overline{\rm EF}}^2:h^2\)이다. [V권 명제 19 따름명제]
그런데 \(\overline{\rm AB}:\overline{\rm BC}\)는 제곱수의 비가 아니므로 \({\overline{\rm EF}}^2:h^2\)도 제곱수의 비가 아니다. 그러므로 \(\overline{\rm EF}\)와 \(h\)는 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 9]
그러므로 \({\overline{\rm EF}}^2\)는 \({\overline{\rm FG}}^2\)과 \(\overline{\rm EF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 길이의 제곱과의 합과 같다. 그리고 \(\overline{\rm EF}\), \(\overline{\rm FG}\)는 단지 자신의 제곱만을 같은 단위로 측정할 수 있는 유리수이다. 그러므로 \(\overline{\rm EG}\)는 네 번째 이항 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 원론에서 더 이상 사용되지 않는다.
이를 대수적으로 나타내면 다음과 같다. \(\rho\), \(k\), \(m\), \(n\)은 양의 정수이고, \(m+n:m\)과 \(m+n:n\) 모두 제곱수의 비가 아니다.
\(\overline{\rm AC}=m\), \(\overline{\rm CB}=n\),
\(d=\rho\),
\(\displaystyle\overline{\rm EF}=k\rho\), \(\overline{\rm FG}=k\rho\sqrt{\frac{m}{m+n}}\)
\(\displaystyle h=k\rho\sqrt{\frac{n}{m+n}}\)