X 권
명제
명제 24
길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 두 네제곱근 평균의 길이를 두 변으로 만든 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)로 직사각형 \(\rm ABCE\)를 만들었다. 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이가 네제곱근 평균이다.
X 권
명제
길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 두 네제곱근 평균의 길이를 두 변으로 만든 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)로 직사각형 \(\rm ABCE\)를 만들었다. 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균이라 하자. 그러면 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이가 네제곱근 평균이다.
두 선분 \(\rm AB\), \(\rm BC\)로 직사각형 \(\rm ABCE\)를 만들었다. 두 선분 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 네제곱근 평균이라 하자.
그러면 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이가 네제곱근 평균임을 보이자.
\(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있고, \(\overline{\rm AB}=\overline{\rm BD}\)이므로 \(\overline{\rm DB}\), \(\overline{\rm BC}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다.
그러므로 정사각형 \(\rm ABDF\) 넓이와 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이도 같은 단위로 측정할 수 있다. [VI권 명제 1, X권 명제 11]
그런데 정사각형 \(\rm ABDF\) 넓이는 네제곱근 평균이다. 그러므로 직사각형 \(\rm ABCE\) 넓이도 네제곱근 평균이다. [X권 명제 23 따름명제]
그러므로 길이를 같은 단위로 측정할 수 있는 두 네제곱근 평균의 길이를 갖는 두 변으로 만든 직사각형 넓이는 네제곱근 평균이다.
Q.E.D.
이 명제를 대수적을 나타내면 다음과 같다.
\(a\), \(b\)는 네제곱근 평균이며, \(\frac ab\)가 유리수를 만족한다. 그러면 \(c=\sqrt{ab}\)는 네제곱근 평균이다.
\(c^2=ab=b^2\left(\frac ab \right)\)가 무리수이므로, \(c^4=a^2b^2=b^4 \left(\frac ab \right)\)는 유리수이다.
이 명제는 원론에서 나머지 명제에서 사용되지 않는다.