X 권
명제
명제 103
뺀 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 같은 뺀 선분이다.
선분 \(\rm AB\)가 뺀 선분이고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은
X 권
명제
뺀 선분과 같은 단위로 측정할 수 있는 선분은 같은 뺀 선분이다.
선분 \(\rm AB\)가 뺀 선분이고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은
선분 \(\rm AB\)가 뺀 선분이고, \(\overline{\rm CD}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있다고 하자. 그러면 선분 \(\rm CD\)도 선분 \(\rm AB\)와 같은 뺀 선분임을 보이자.
\(\rm AB\)가 뺀 선분이므로 일직선이 되게 선분 \(\rm BE\)를 이을 수 있다. 그러면 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 유리수이며, 단 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 73]
\(\overline{\rm BE}:\overline{\rm DF}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이 되도록 선분 \(\rm CD\), \(\rm DF\)를 잡자. [VI권 명제 12] 그러면 앞과 뒤의 비율은 앞을 더한 것과 뒤를 더한 것의 비율과 같다. [V권 명제 12] 그러므로 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm AB}:\overline{\rm CD}\)이다.
그런데 \(\overline{\rm AB}\), \(\overline{\rm CD}\)는 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm CF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있으며, \(\overline{\rm BE}\), \(\overline{\rm DF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 11]
그리고 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)는 유리수이며, 단 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. 그러므로 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)는 유리수이며, 단 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\) 만을 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 13]
\(\overline{\rm AE}:\overline{\rm CF}=\overline{\rm BE}:\overline{\rm DF}\)이므로 바꾼 비례식에 의해서 \(\overline{\rm AE}:\overline{\rm BE}=\overline{\rm CF}:\overline{\rm FD}\)이다. [V권 명제 15]
\({\overline{\rm AE}}^2=\)\({\overline{\rm EB}}^2+\)(\(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이거나 아니면 \({\overline{\rm AE}}^2=\)\({\overline{\rm EB}}^2+\)(\(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로 하는 정사각형 넓이)이다.
\({\overline{\rm AE}}^2=\)\({\overline{\rm EB}}^2+\)(\(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이라 하자. 그러면 \({\overline{\rm CF}}^2=\)\({\overline{\rm FD}}^2+\)(\(\overline{\rm CF}\)와 같은 단위로 측정할 수 있는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 14]
만약 \(\overline{\rm AE}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm CF}\)와도 같은 단위 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 만약 \(\overline{\rm BE}\)가 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm DF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 만약 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)가 같은 단위로 측정할 수 없으면 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
만약 \({\overline{\rm AE}}^2=\)\({\overline{\rm EB}}^2+\)(\(\overline{\rm AE}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이라 하자. 그러면 \({\overline{\rm CF}}^2=\)\({\overline{\rm FD}}^2+\)(\(\overline{\rm CF}\)와 같은 단위로 측정할 수 없는 선분을 변으로하는 정사각형 넓이)이다. [X권 명제 14]
만약 \(\overline{\rm AE}\)가 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm CF}\)와도 같은 단위 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 만약 \(\overline{\rm BE}\)가 같은 단위로 측정할 수 있으면 \(\overline{\rm DF}\)도 같은 단위로 측정할 수 있다. [X권 명제 12] 만약 \(\overline{\rm AE}\), \(\overline{\rm EB}\)가 같은 단위로 측정할 수 없으면 \(\overline{\rm CF}\), \(\overline{\rm FD}\)도 같은 단위로 측정할 수 없다. [X권 명제 13]
그러므로 \(\overline{\rm CD}\)는 \(\overline{\rm AB}\)와 같은 뺀 선분이다.
Q.E.D.
이 명제는 이후 [원론]에서 사용되지 않는다.